Quotients de fonctions définies-négatives et synthèse spectrale

Hirsch, Francis

Annales de l'Institut Fourier, Tome 30 (1980) no. 4, pp. 75-96.

On considère l’espace $E=L^2({\Psi }_2.{\Psi }_1^{-1}dx)$ où ${\Psi }_2$ et ${\Psi }_1$ sont deux fonctions définies-négatives, réelles et continues sur ${\mathbf{R}}^n$. On étudie la possibilité d’approcher, au sens de la norme de $E$, tout élément $\varphi$ de $E$ par des combinaisons linéaires d’éléments de $E$ qui sont transformés de Fourier de mesures positives de support inclus dans le spectre de $\varphi$. Des méthodes de théorie du potentiel permettent de donner une réponse positive (sous certaines hypothèses additionnelles). On obtient ainsi des généralisations, au cas de ${\mathbf{R}}^n$, de résultats démontrés par Beurling-Deny dans le cas du tore $\mathbf{T}$.

We consider the space $E=L^2({\Psi }_2.{\Psi }_1^{-1}dx)$ where ${\Psi }_2$ and ${\Psi }_1$ are two real and continuous negative-definite functions on ${\mathbf{R}}^n$. We study the following problem: Can we approximate, with respect to the norm of $E$, each element $\varphi$ of $E$ by linear combinations of elements of $E$ which are Fourier transforms of positive measures having their support included in the spectrum of $\varphi$? Using potential theory’s methods, we give an affirmative answer (under some additional hypothesis), and thus we extend to the case of ${\mathbf{R}}^n$ results which were proved by Beurling-Deny in the case of the torus $\mathbf{T}$.

[1] A. Beurling, Sur les spectres des fonctions, Colloque d'Analyse Harmonique, C.N.R.S., Nancy 1947, 9-29. | MR | Zbl

[2] A. Beurling et J. Deny, Dirichlet spaces, Proc. Nat. Ac. Sc., 45 (1959), 208-215. | MR | Zbl

[3] J. Deny, Les potentiels d'énergie finie, Acta Math., 82 (1950), 107-183. | MR | Zbl

[4] J. Deny, Sur la définition de l'énergie en théorie du potentiel, Ann. Inst. Fourier, 2 (1950), 83-99. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[5] J. Deny, Méthodes hilbertiennes en théorie du potentiel, Cours du CIME, Stresa, 1969. | Zbl

[6] F. Hirsch, Principes du maximum pour les noyaux de convolution, Séminaire de théorie du Potentiel, Paris n° 4, pp. 113-136. Lecture Notes n° 713, Springer. | MR | Zbl

[7] F. Hirsch, Principe complet du maximum et principe complet du maximum relatif, Potential theory Copenhagen 1979, Lecture Notes n° 787, Springer, 144-158. | MR | Zbl

[8] J. P. Kahane, Quotients de fonctions définies-négatives (d'après Beurling-Deny), Séminaire Bourbaki, 19e année, 1966/1967, n° 315. | EuDML | Numdam | Zbl

[9] L. Schwartz, Théorie des distributions, Hermann-Paris, 1966. | Zbl