Homogeneous hessian manifolds

Shima, Hirohiko

Annales de l'Institut Fourier, Tome 30 (1980) no. 3, pp. 91-128.

Une variété d’une connexion affine plate est dite hessienne si elle est munie d’une métrique riemannienne qui s’exprime localement $g_{ij}=\frac{{\partial }^2\Phi }{\partial x^i\partial x^j}$ où $\Phi$ est une fonction $C^{\infty }$ et $\{x^1,...,x^n\}$ est un système de coordonnées locales affines. Soit $M$ une variété hessienne. On montre que si $M$ est homogène, le revêtement universel de $M$ est un domaine convexe dans ${\mathbf{R}}^n$ et admet une fibration uniquement déterminée dont la base est un domaine convexe homogène ne contenant aucune droite et dont le fibré est un sous-espace affine de ${\mathbf{R}}^n$.

A flat affine manifold is said to Hessian if it is endowed with a Riemannian metric whose local expression has the form $g_{ij}=\frac{{\partial }^2\Phi }{\partial x^i\partial x^j}$ where $\Phi$ is a $C^{\infty }$-function and $\{x^1,...,x^n\}$ is an affine local coordinate system. Let $M$ be a Hessian manifold. We show that if $M$ is homogeneous, the universal covering manifold of $M$ is a convex domain in ${\mathbf{R}}^n$ and admits a uniquely determined fibering, whose base space is a homogeneous convex domain not containing any full straight line, and whose fiber is an affine subspace of ${\mathbf{R}}^n$.

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