Galois module structure of rings of integers

Taylor, Martin J.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 30 (1980) no. 3, pp. 11-48.

Soit $E/F$ une extension galoisienne de corps de nombres où les diviseurs de $(E:F)$ sont non-ramifiés dans $E/\mathbf{Q}$. On note $\Gamma =\mathrm{Gal}(E/F)$ et ${𝒪}_E$ l’anneau des entiers de $E$. Nous considérons ${𝒪}_E$ comme $\mathbf{Z}\Gamma$-module et nous démontrons que la quatrième puissance de la classe (localement libre) de ${𝒪}_E$ est la classe triviale. Afin de démontrer ce résultat, nous utilisons la description de Fröhlich des groupes de classes de modules et son représentant pour la classe des ${𝒪}_E$. De plus, nous développons une nouvelle méthode de congruences sur les déterminants pour les algèbres des groupes cycliques et nous démontrons des congruences correspondantes pour les sommes de Gauss.

Let $E/F$ be a Galois extension of number fields with $\Gamma =$ Gal$(E/F)$ and with property that the divisors of $(E:F)$ are non-ramified in $E/\mathbf{Q}$. We denote the ring of integers of $E$ by ${𝒪}_E$ and we study ${𝒪}_E$ as a $\mathbf{Z}\Gamma$-module. In particular we show that the fourth power of the (locally free) class of ${𝒪}_E$ is the trivial class. To obtain this result we use Fröhlich’s description of class groups of modules and his representative for the class of ${ℰ}_E$, together with new determinantal congruences for cyclic group rings and corresponding congruences for Gauss sums.

[1] Ph. Cassou-Nogues, Quelques théorèmes de base normale d'entiers, Ann. Inst. Fourier, 28, 3 (1978), 1-33. | Numdam | Zbl

[2] P. Deligne, Les constantes des équations fonctionnelles des fonctions L, Modular forms in one variable III, Lecture Notes in Mathematics, 349 (1973), 501-597. | MR | Zbl

[3] A. Fröhlich, Arithmetic and Galois module structure for tame extensions, J. reine und angew. Math., 286/287 (1976), 380-440. | MR | Zbl

[4] A. Fröhlich, To appear in the Springer Ergebnisse series.

[5] A. Fröhlich, Galois module structure, Algebraic Number Fields, (Proc. Durham Symposium), Academic Press, 1977, London. | Zbl

[6] A. Fröhlich, Locally free modules over arithmetic orders, J. reine angew. Math., 274/5 (1975), 112-124. | MR | Zbl

[7] A. Fröhlich and M.J. Taylor, The arithmetic theory of local Galois Gauss sums for tame characters, to appear in the Philosophical Transactions of the Royal Society. | Zbl

[8] T.Y. Lam, Artin exponents of finite groups, J. Algebra, 9 (1968), 94-119. | MR | Zbl

[9] S. Lang, Algebraic number theory, Addison-Wesley (1970). | MR | Zbl

[10] J. Martinet, Character theory and Artin L-functions, Algebraic Number fields, (Proc. Durham Symposium), Academic Press, (1977), London. | MR | Zbl

[11] E. Noether, Normalbasis bei Körpern ohne höhere Verzweigung, J. reine angew. Math., 167 (1932), 147-152. | JFM | Zbl

[12] J.P. Serre, Corps locaux, Hermann, Paris, 1968.

[13] J.P. Serre, Représentations linéaires des groupes finis, 2nd ed., Hermann, Paris, 1971. | MR | Zbl

[14] J. Tate, Local constants, Algebraic Number Fields, (Proc. Durham Symposium), Academic Press, London, 1977.

[15] M.J. Taylor, Galois module structure of relative abelian extensions, J. reine angew. Math., 303/4 (1978), 97-101. | MR | Zbl

[16] M.J. Taylor, On the self-duality of a ring of integers as a Galois module, Inventiones Mathematicae, 46 (1978), 173-177. | MR | Zbl

[17] M.J. Taylor, A logarithmic description of locally free classgroups of finite groups, to appear in the Journal of Algebra.