On compact homogeneous symplectic manifolds

Zwart, P. B.; Boothby, William M.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 30 (1980) no. 1, pp. 129-157.

Dans cet article, les auteurs considèrent les espaces homogènes compacts d’un groupe de Lie $G$ sur lesquels est donnée une structure symplectique $G$-invariante $\Omega$. Un point important de l’article est le fait que les hypothèses sur $G$ et $K$ sont minimales : (1) $G$ est connexe et (2) $K$ est uniforme (i.e. $G/K$ est compact). Pour faciliter l’exposition mais sans diminuer la généralité des conclusions, on a aussi supposé que $G$ est simplement connexe et que $K$ ne contient aucun sous-groupe invariant connexe de $G$, i.e. l’action de $G$ sur $G/K$ est presque effective. Alors, il est démontré que $G=S\times R$, produit direct de $S$ semi-simple et compact et $R$ produit semi-direct $AN$ d’un sous-groupe abélien $A$ avec un sous-groupe invariant abélien $N$. De plus, $K=(K\cap S)\times (K\cap R)$ et les espaces homogènes $S(K\cap S)$ et $R/(K\cap R)$ héritent chacun d’une structure homogène symplectique. Quelques résultats supplémentaires sur $R/(K\cap R)$ sont donnés avec un exemple qui montre que $R$ peut, en fait, être muni d’une structure de groupe résoluble non-abélien mais que $R/(K\cap R)$ doit être homéomorphe au tore $T^n$. Quant à $S/(K\cap R)$, une fois établi que $S$ est compact, semi-simple, la structure de cet espace est bien connue.

In this paper the authors study compact homogeneous spaces $G/K$ (of a Lie group $G$) on which there if defined a $G$-invariant symplectic form $\Omega$. It is an important feature of the paper that very little is assumed concerning $G$ and $K$. The essential assumptions are: (1) $G$ is connected and (2) $K$ is uniform (i.e., $G/K$ is compact). Further, for convenience only and with no loss of generality, it is supposed that $G$ is simply connected and $K$ contains no connected normal subgroup of $G$, i.e., that $G$ acts almost effectively on $G/K$. It is then shown that $G=S\times R$, a direct product, where $S$ is compact semi-simple and $R$ is a semi-direct product $AN$ of a connected abelian subgroup $A$ and the maximal connected normal nilpotent group $N$, which is also abelian. Further $K=(K\cap S)\times (K\cap R)$ and $S/(K\cap S),R/K\cap R)$ each have a natural symplectic structure. Some further results on $R/(K\cap R)$ are given together with an example which shows that $R$ can actually possess this two step solvable structure, i.e., it need not be abelian, although $R/(K\cap R)$ is a torus topologically. Once it has been established that $S$ is compact and $S/(K\cap S)$ symplectic, then the structure of $S/(K\cap S)$ is well-known from the work of others.

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