Sur les unités d’une extension galoisienne non abélienne de degré $pq$ du corps des rationnels $p$ et $q$ nombres premiers impairs

Moser, Nicole

Annales de l'Institut Fourier, Tome 29 (1979) no. 1, pp. 137-158.

Soit $K/\mathbf{Q}$ une extension galoisienne non abélienne, de degré $pq$, de groupe $G$. On étudie dans cet article la structure du groupe des unités $U_K$ de $K$, en tant que module sur l’algèbre $\mathbf{Z}\left[G\right]$. Cela permet de donner quelques propriétés arithmétiques de $K$, comme la détermination des images de $U_K$ par les applications normes sur les sous-corps de $K$, la participation de $p$ au nombre de classes de $K$, et des conditions nécessaires d’existence d’une unité de Minkowski dans $K$.

Let $K/\mathbf{Q}$ be a Galois non abelian extension of degree $pq$, of group $G$. In this paper, we study the structure, as module over the group ring $\mathbf{Z}\left[G\right]$, of the group of units $U_K$ of $K$. It enables us to give some arithmetical properties of $K$, as the determination of the image of $U_K$ by norm mappings on subfields of $K$, the divisibility of the ideal class number of $K$ by a power of $p$, and necessary conditions for $K$ to have a Minkowski unit.

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