Intégrales premières d'une forme de Pfaff analytique

Mattei, Jean-François; Moussu, Robert

Annales de l'Institut Fourier, Tome 28 (1978) no. 4, pp. 229-237.

Soit $\omega$ un germe en $0\in {\mathbf{C}}^n$ de 1-forme différentielle holomorphe vérifiant la condition d’intégrabilité $\omega \wedge d\omega =0$. S’il existe un germe $h$ d’application holomorphe de $({\mathbf{C}}^r,0)$ dans $({\mathbf{C}}^n,0)$ qui possède les deux propriétés suivantes :

a) $h^{*}\left(\omega \right)$ a une intégrale première formelle,

b) la codimension du lieu singulier $S\left(h^{*}\right(\omega \left)\right)$ de $h^{*}\left(\omega \right)$ est supérieure ou égale à 2,

alors $\omega$ a une intégrale première holomorphe.

Let $\omega$ a germ of complex analytic differential one-form at 0 satisfying the integrability condition $\omega \wedge d\omega =0$. If there is a germ at 0, $h$, of complex analytic mapping from $({\mathbf{C}}^r,0)$ to $({\mathbf{C}}^n,0)$ satisfying the following two conditions:

a) $h^{*}\left(\omega \right)$ has a formal first integral,

b) the codimension of the singular locus $S\left(h^{*}\right(\omega \left)\right)$ of $h^{*}\left(\omega \right)$ is at least two,

then $\omega$ has a complex analytic first integral.

[1] A. D. Brjuno, Analytic form of differential equations, Trans. Moscow Math. Soc., 25 (1971), 131-282. | MR | Zbl

[2] R. C. Gunning and H. Rossi, Analytic functions of several complex variables, Prentice Hall Inc., London. | Zbl

[3] M. Lejeune-Jalabert et B. Tessier, Quelques calculs utiles pour la résolution des singularités, Centre Math. École Polytechnique (Nov. 1971). | Zbl

[4] B. Malgrange, Frobenius avec singularités 1. codimension un, Publ. Math. I.H.E.S., 46 (1976), 163-173. | Numdam | MR | Zbl

[5] R. Moussu, Sur l'existence d'intégrales premières pour un germe de forme de Pfaff, Annales Inst. Fourier, 26-2 (1971), 171-220. | Numdam | MR | Zbl

[6] K. Saito, On a generalisation of de Rham lemma, Annales Inst. Fourier, 26-2 (1976), 165-170. | Numdam | MR | Zbl