Harmonic interpolating sequences, $L^p$ and BMO

Garnett, John B.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 28 (1978) no. 4, pp. 215-228.

Soit $\left(z_{\nu }\right)$ une suite de points du demi-plan supérieur ; si, pour $p$ tel que $1<p\le \infty$, et pour toute suite $(a_{\nu }{)}_{\nu \in \mathbf{N}}$ dans ${\ell }^p\left(\mathbf{N}\right)$ il existe une fonction $f$, intégrale de poisson d’une fonction de $L^p\left(\mathbf{R}\right)$ qui vérifie :

$$y_{\nu }^{1/p}f(z_{\nu })=a_{\nu },\nu =1,2,...(*)$$

alors nous montrons que $(z_{\nu },\nu \in \mathbf{N})$ est une suite d’interpolation pour $H^{\infty }$. De même, si on fait l’hypothèse qu’il existe une solution $f$, intégrale de Poisson d’une fonction de BMO qui vérifie $(*)$ avec $p=+\infty$ et $\left(a^{\nu }\right)$ dans ${\ell }^{\infty }\left(\mathbf{N}\right)$, $\left(z_{\nu }\right)$ est encore une suite d’interpolation pour $H^{\infty }$.

Un théorème un peu plus général est prouvé et on donne un contre-exemple dans le cas où $p\le 1$.

Let $\left(z_{\nu }\right)$ be a sequence in the upper half plane. If $1<p\le \infty$ and if

$$y_{\nu }^{1/p}f(z_{\nu })=a_{\nu },\nu =1,2,...(*)$$

has solution $f\left(z\right)$ in the class of Poisson integrals of $L^p$ functions for any sequence $(a_{\nu })\in {\ell }^p$, then we show that $\left(z_{\nu }\right)$ is an interpolating sequence for $H^{\infty }$. If $f(z_{\nu })=a_{\nu }$, $\nu =1,2,...$ has solution in the class of Poisson integrals of BMO functions whenever $(a_{\nu })\in {\ell }^{\infty }$, then $\left(z_{\nu }\right)$ is again an interpolating sequence for $H^{\infty }$. A somewhat more general theorem is also proved and a counterexample for the case $p\le 1$ is described.

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