Principe de Harnack à la frontière et théorème de Fatou pour un opérateur elliptique dans un domaine lipschitzien

Ancona, Alano

Annales de l'Institut Fourier, Tome 28 (1978) no. 4, pp. 169-213.

L’article étudie le compactifié de Martin d’un domaine lipschitzien $\Omega$ relativement à un opérateur elliptique à coefficients hödériens $L$ ; on étend aux fonctions $L$-harmoniques et aux fonctions $L$-harmoniques adjointes sur $\Omega$ une estimation de $L$-Carleson pour le cas $L=\Delta$, puis on établit un “principe de Harnack à la frontière” comparant l’allure à la frontière de fonctions $L$-harmoniques $\ge 0$ sur $\Omega$. Conséquences : $Q\in \partial \Omega$, et normalisée en $A_0\in \Omega$ ; un théorème de type Fatou-Doob sur l’existence de limites angulaires.

On construit un domaine plan dont les compactifiés relativement à $\Delta$ et à $\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+2\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}$ ne sont pas homéomorphes, et un domaine $\Omega$ contenant un angle $\{z\ne 0;|{\mathrm{Arg}}^t\left(z\right)|<\alpha \}$ et tel que $\left\{\right]0,\epsilon ];\epsilon >0\}$ ne soit pas une base de filtre convergente dans le compactifié de $\Omega$.

We study the Martin compactification of a Lipschitz domain, with respect to an elliptic operator $L$: we show, for $L$-harmonic functions and adjoint $L$-harmonic functions, an estimate due to $L$-Carleson when $L=\Delta$. We use that result to obtain a “Harnack Boundary Principle” related to the behaviour of $\ge 0$ $L$-harmonic functions. We can then obtain, the existence and uniqueness of a $L$-kernel functions at each $Q\in \partial \Omega$, as well as a Fatou-Doob type theorem on non tangential limits for quotients of $L$-harmonic functions. We construct a planar domain whose Martin compactification with respect to $\Delta$ and $\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+2\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}$ are not homeomorphics, and a domain including an angle $\{z\ne 0;|{\mathrm{Arg}}^t\left(z\right)|<\alpha \}$ such that the net $\left\{\right]0,\epsilon ];\epsilon >0\}$ is not converging in the usual compactification of $\Omega$.

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