Sur les entiers $N$ pour lesquels il y a beaucoup de groupes abéliens d’ordre $N$

Nicolas, Jean-Louis

Annales de l'Institut Fourier, Tome 28 (1978) no. 4, pp. 1-16.

Soit $a\left(n\right)$ le nombre de groupes abéliens d’ordre $n$. Pour étudier les grandes valeurs prises par $a\left(n\right)$, on définit, comme l’a fait Ramanujan pour le nombre de diviseurs de $n$, les nombres $a$-hautement composés et $a$-hautement composés supérieurs. Pour calculer ces derniers nombres, on détermine les sommets de l’enveloppe inférieure convexe de la fonction $logP\left(n\right)$ où $P\left(n\right)$ est le nombre de partitions de $n$. Sous l’hypothèse de Riemann, on donne un développement asymptotique de l’ordre maximum de la fonction $a\left(n\right)$.

Let $a\left(n\right)$ be the number of abelian groups of order $n$. To deal with large values taken by $a\left(n\right)$, as Ramanujan has done with the number of divisors of $n$, $a$-highly composite and superior $a$-highly composite numbers are defined. To compute these numbers, the vertices of the inferior convex envelope of the function $logP\left(n\right)$, where $P\left(n\right)$ is the number of partitions of $n$, are determined. Under Riemann hypothesis, an asymptotic development of the maximal order of $a\left(n\right)$ is given .

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