On some ergodic properties for continuous and affine functions

Batty, Charles J. K.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 28 (1978) no. 3, pp. 209-215.

On résoud deux problèmes posés par Choquet et Foias:

(i) Soit $T$ un opérateur linéaire positif sur l’espace $C\left(X\right)$ des fonctions réelles continues sur un espace compact $X$. On montre que si la suite des moyennes $n^{-1}{\sum }_{r=0}^{n-1}{T}^{r}1$ converge vers une fonction continue, la convergence est uniforme.

(ii) On donne un exemple de simplexe de Choquet $X$ et d’un opérateur linéaire positif $T$ sur l’espace $A\left(K\right)$ des fonctions réelles affines continues sur $K$, telles que

$$\inf \left\{\right(T^{n}1\left)\right(x):n\ge \}<1$$

pour tout $x$ de ${\partial }_{\ell }K$, bien que $\parallel T^{n}1\parallel$ ne converge pas vers 0.

Two problems posed by Choquet and Foias are solved:

(i) Let $T$ be a positive linear operator on the space $C\left(X\right)$ of continuous real-valued functions on a compact Hausdorff space $X$. It is shown that if $n^{-1}{\sum }_{r=0}^{n-1}{T}^{r}1$ converges pointwise to a continuous limit, then the convergence is uniform on $X$.

(ii) An example is given of a Choquet simplex $K$ and a positive linear operator $T$ on the space $A\left(K\right)$ of continuous affine real-valued functions on $K$, such that

$$\inf \left\{\right(T^{n}1\left)\right(x):n\ge \}<1$$

for each $x$ in ${\partial }_{\ell }K$, but $\parallel T^{n}1\parallel$ does not converge to 0.

[1] G. Choquet and C. Foias, Solution d'un problème sur les itérés d'un opérateur positif sur C (K) et propriétés de moyennes associées, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 24, no. 3 & 4 (1975), 109-129. | Numdam | MR | Zbl

[2] J. Dixmier, Les C*-algèbres et leurs représentations, 2nd ed., Gauthier-Villars, Paris, 1969. | Zbl