The generic dimension of the first derived system

Buemi, Robert P.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 28 (1978) no. 3, pp. 113-121.

Chaque sous-fibré de dimension $r$ du fibré cotangent d’une variété $M$ de dimension $n$ partage $M$ en sous-ensembles $M_0,...,M_m$ ($m$ est le minimum de $r$ et $C(n-r,2)$, nombre des combinaisons de $n-r$ objets pris deux à deux). $M_i$ est l’ensemble sur lequel la codimension du premier système dérivé du sous-fibré est égale à $i$.

Dans cet article nous prouvons le théorème suivant :

Soit $s\ge 2$ et $Q$ un sous-fibré générique de classe $C^s$ et de dimension $r$ du fibré cotangent d’une variété $M$ de dimension $n$. La codimension de $M_i$ est égale à $\left(C\right(n-r,2)-i)(r-i)$.

Any $r$-dimensional subbundle of the cotangent bundle on an $n$-dimensional manifold $M$ partitions $M$ into subsets $M_0,...,M_m$ ($m$ being the minimum of $r$ and $C(n-r,2)$, the combinations of $n-r$ things taken 2 at a time). $M_i$ is the set on which the first derived systems of the subbundle has codimension $i$.

In this paper we prove the following:

Theorem. Let $s\ge 2$ and let $Q$ be a generic $C^s$ $r$-dimensional subbundle of the cotangent bundle of an $n$-dimensional manifold $M$. The codimension of $M_i$ is given by $\left(C\right(n-r,2)-i)(r-i)$.

[1] R. Buemi, An obstruction to certain non-integrable 2-plane fields, Topology, 16 (1977), 173-176. | MR | Zbl

[2] E. Cartan, Oeuvres Complètes, Paris, Gauthier-Villars, 1953.

[3] M. Hirsch, Differential Topology, Springer-Verlag, 1976. | MR | Zbl