Sur les problèmes mixtes pour certains systèmes paraboliques dans les ouverts non cylindriques

Lions, Jacques-Louis

Annales de l'Institut Fourier, Tome 7 (1957), pp. 143-182.

Soit $\Omega$ un ouvert non cylindrique de l’espace $R_x^n\times R_t$, contenu dans $t>0$ ; on donne dans cet ouvert un opérateur différentiel (ou un système d’opérateurs différentiels) de la forme

$$A_x+\partial /\partial t,A_x=\Sigma (-1{)}^{\left|p\right|}{D}_x^p(a_{pq}(x,t)D_x^q),|p|,|q|\le m,$$

l’opérateur $A_x$ étant elliptique pour tout $t>0$.

On montre que sous certaines hypothèses sur la frontière de $\Omega$, il existe une fonction $u$ et une seule, solution de

$$A_{x}u+\partial u/\partial t=f(x,t)\text{(donné)}$$

avec

$$u(x,0)=0$$

et les dérivées en $x$ de $u$ d’ordre $\le m-1$ étant nulles sur la partie latérale de la frontière de $\Omega$.

La solution utilise divers espaces fonctionnels (chap. I) et des considérations d’intégrale d’énergie (chap. II) ; on obtient des solutions “faibles”. On étudie diverses propriétés de stabilité de la solution.

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