La représentation coadjointe du groupe affine

Rais, Mustapha

Annales de l'Institut Fourier, Tome 28 (1978) no. 1, pp. 207-237.

On étudie la représentation coadjointe de certains produits semi-directs $M\times GL\left(n\right)$ (où $M$ est un espace de matrices où $GL\left(n\right)$ opère) et plus particulièrement celle du groupe affine. Dans ce dernier cas, on donne un calcul explicite de l’inverse d’une application orbitale (correspondant à un point dont le stabilisateur est trivial). Ceci permet de résoudre diverses questions de la théorie des invariants relatives au groupe affine et à certains de ses sous-groupes. Par exemple, on a déterminé par une méthode géométrique les invariants rationnels (sous l’action naturelle de $GL\left(n\right)$) d’un certain nombre de vecteurs covariants ou contravariants et d’un certain nombre de matrices (sur lesquelles $GL\left(n\right)$ opère au moyen de la représentation adjointe.

This concerns the coadjoint representation of certain semi-direct products $M\times GL\left(n\right)$ (here $M$ is a matrix space where $GL\left(n\right)$ acts) and more particularly that of the affine group. In the later case, we have obtained an explicit inverse of an orbital map (corresponding to a point whose isotropy subgroup is trivial) and this explicit inverse is used to solve certain questions of the invariant theory concerning the affine group and certain of its sub-groups. For example, we get the rational $GL\left(n\right)$-invariants of a number a covariant or contravariant vectors and a number of matrices (in which $GL\left(n\right)$ acts by the adjoint representation.

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