Perturbations compactes des représentations d'un groupe dans un espace de Hilbert. II

Harpe, Pierre De La; Karoubi, Max

Annales de l'Institut Fourier, Tome 28 (1978) no. 1, pp. 1-25.

Soit $T$ une application d’un groupe $G$ dans le groupe $U\left(H\right)$ des opérateurs unitaires sur un espace de Hilbert. Si $T\left(gh\right)-T\left(g\right)T\left(h\right)$ est un opérateur compact pour tous $g,h\in G$, quelles sont les obstructions à l’existence d’un homomorphisme $S:G\to U\left(H\right)$ avec $S\left(g\right)\to T\left(g\right)$ compact pour tout $g\in G$ ? Nous étudions ici les cas où $G$ est une somme amalgamée de groupes finis et où $G$ est un produit semi-direct d’un groupe fini par $\mathbf{Z}$.

Let $T$ be a map from a group $G$ to the group $U\left(H\right)$ of unitary operators on a Hilbert space. If $T\left(gh\right)-T\left(g\right)T\left(h\right)$ is a compact operator for all $g,h\in G$, what are the obstructions to the existence of a homomorphism $S:G\to U\left(H\right)$ with $S\left(g\right)\to T\left(g\right)$ compact for all $g\in G$? We study here the cases where $G$ is an amalgam of finite groups and where $G$ is a semi-direct product of a finite group with $\mathbf{Z}$.

[1] H. Boerner, Darstellungen von Gruppen, 2e éd., Springer 1967. | Zbl

[2] L.G. Brown, Extensions and the structure of C*-algebras, conférence "Teoria degli operatori, indice e teoria K" (Rome, octobre 1975), Symp. Math., 20 (1976), 539-566. | MR | Zbl

[3] L.G. Brown, communication privée.

[4] P. De La Harpe et M. Karoubi, Perturbations compactes des représentations d'un groupe dans un espace de Hilbert, C.R. Acad. Sc. Paris, Sér. A, 281 (1975), 901-904. | MR | Zbl

[5] P. De La Harpe et M. Karoubi, Perturbations compactes des représentations d'un groupe dans un espace de Hilbert I, Bull. Soc. Math. France, suppl., Mém. Nr 46 (1976), 41-65. | Numdam | MR | Zbl

[6] P. De La Harpe, Lifting matrix algebras from the Calkin algebra, Lausanne, octobre 1975.

[7] E. Hewitt et K.A. Ross, Abstract harmonic analysis, Springer 1963.

[8] E. Hewitt et K.A. Ross, Abstract harmonic analysis II, Springer 1970.

[9] I. Kaplansky, Lie algebras and locally compact groups, The University of Chicago Press, 1971. | MR | Zbl

[10] S. Sakai, C*-algebras and W*-algebras, Springer 1971. | MR | Zbl

[11] J.P. Serre, Représentations linéaires des groupes finis, Hermann 1967. | MR | Zbl

[12] J.P. Serre, Arbres, amalgames et SL2, Collège de France 1968/1969 (à paraître dans les Springer Lecture Notes in Mathematics).

[13] J.P. Serre, Amalgames et points fixes, Proc. Second Internat. Conf. Theory of Groups, Camberra 1973, Springer Lectures Notes, 372 (1974), 633-640. | MR | Zbl

[14] J. Stallings, Group theory and three-dimensional manifolds, Yale University Press 1971. | Zbl

[15] F. Thayer, Obstructions to lifting * morphisms into the Calkin algebra, Illinois Math. J., 20 (1976), 322-328. | MR | Zbl