Critères de convexité et inégalités intégrales

Dubuc, Serge

Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977) no. 1, pp. 135-165.

Pour trois fonctions non-négatives intégrables sur ${\mathbf{R}}^n$, $f,g$ et $h$, telles que $\left(h\right(x+y){)}^{-1/n}\le (f\left(x\right){)}^{-1/n}+\left(g\right(y){)}^{-1/n}$, Borelll a établi l’inégalité $\int h\left(z\right)dz\ge \min \int f\left(x\right)dx,\int g\left(y\right)dy)$. Nous déterminons les conditions précises où l’inégalité sera stricte. La clef de cette analyse est une nouvelle caractérisation des fonctions convexes mesurables.

Let be three non-negative functions, $f,g$ and $h$, which are integrable on ${\mathbf{R}}^n$, and $\left(h\right(x+y){)}^{-1/n}\le (f\left(x\right){)}^{-1/n}+\left(g\right(y){)}^{-1/n}$, the inequality $\int h\left(z\right)dz\ge \min \int f\left(x\right)dx,\int g\left(y\right)dy)$ was found by Borell. We look for precise conditions under which the inequality is strict. The cornerstone of this analysis is a new characterization of measurable convex functions.

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