Sur l'existence d'intégrales premières pour un germe de forme de Pfaff

Moussu, Robert

Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 2, pp. 171-220.

Soit $\omega \left(x\right)={\sum }_{i=1}^n{a}_i\left(x\right)d{x}_i$ un germe en $0\in {\mathbf{R}}^n$ d’une forme de Pfaff, complètement intégrable ($\omega \wedge d\omega =0$) de classe $C^{\infty }$ ou analytique, dont 0 est un zéro algébriquement isolé $({\dim }_{\mathbf{R}}{E}_n/[a_1,a_2,...,a_n]<\infty ).$ La matrice $\left(\frac{\partial a_i}{\partial x_j}\left(0\right)\right)$ est symétrique ; soit $q_w$ la forme quadratique correspondante. On montre dans ce travail :

i) que $\omega$ possède une intégrale première formelle (i.e., $j^{\infty }\omega =gdf$, $g\left(0\right)\ne 0$ où $f$ et $g$ sont des séries formelles).

ii) que, si $\omega$ est analytique et rang $q_w\ge 2$, $\omega$ possède une intégrale première analytique (i.e. $\omega =gdf$, $g\left(0\right)\ne 0$, $g,f\in 0_n$).

iii) que, si $\omega$ est $C^{\infty }$ et si (indice $q_m$) $\ge n-1\ge 3$, $\omega$ possède une intégrale première $C^{\infty }$ (i.e., $\omega =gdf$, $g\left(0\right)\ne 0$, $g,f\in E_n$).

Let $\omega \left(x\right)={\sum }_{i=1}^n{a}_i\left(x\right)d{x}_i$ a germ at $0\in {\mathbf{R}}^n$ of a ($C^{\infty }$ or analytic) completely integrable pfaffian form ($\omega \wedge d\omega =0$) for which 0 is an algebraically isolated zero $({\dim }_{\mathbf{R}}{E}_n/[a_1,a_2,...,a_n]<\infty ).$ The matrix $\left(\frac{\partial a_i}{\partial x_j}\left(0\right)\right)$ is symmetric; let $q_w$ the associated quadratic form. We prove in this article:

i) that $\omega$ has a formal first integral (i.e., $j^{\infty }\omega =gdf$, $g\left(0\right)\ne 0$, $g,f\in F_n$).

ii) that, if $\omega$ is analytic and rank $q_w\ge 2$, $\omega$ has a analytic first integral (i.e., $\omega =gdf$, $g\left(0\right)\ne 0$, $g,f\in 0_n$).

iii) that, if $\omega$ is $C^{\infty }$ and if (index $q_m$) $\ge n-1\ge 3$, $\omega$ has a $C^{\infty }$ first integral (i.e., $\omega =gdf$, $g\left(0\right)\ne 0$, $g,f\in E_n$).

[1]G. De Rham, Sur la division des formes et des courants par une forme linéaire, Commentari. Math. Hel., 28 (1954). | EuDML | MR | Zbl

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