Harmonic spaces associated with adjoints of linear elliptic operators

Sjögren, Peter

Annales de l'Institut Fourier, Tome 25 (1975) no. 3-4, pp. 509-518.

Soit $L$ un opérateur elliptique linéaire dans un domaine de ${\mathbf{R}}^n$. Pour ses coefficients on suppose seulement des conditions de régularité faibles. Alors l’adjoint $L^{*}$ existe au sens des distributions, et on commence par déduire un théorème de régularité pour les solutions-distributions d’une équation de type $L^{*}u=$ distribution donnée. On applique ensuite à $L^{*}$ la théorie des espaces harmoniques adjoints de Mme Hervé. Quelques autres propriétés de $L^{*}$ sont également étudiées. Les résultats généralisent un travail antérieur de l’auteur.

Let $L$ be an elliptic linear operator in a domain in ${\mathbf{R}}^n$. We imposse only weak regularity conditions on the coefficients. Then the adjoint $L^{*}$ exists in the sense of distributions, and we start by deducing a regularity theorem for distribution solutions of equations of type $L^{*}u=$ given distribution. We then apply to $L^{*}$ R.M. Hervé’s theory of adjoint harmonic spaces. Some other properties of $L^{*}$ are also studied. The results generalize earlier work of the author.

[1] S. Agmon, A. Douglis and L. Nirenberg, Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions I., Comm. Pure Appl. Math., 12 (1959), 623-727. | MR | Zbl

[2] N. Boboc and P. Mustata, Espaces harmoniques associés aux opérateurs différentiels linéaires du second ordre de type elliptique, Lectures Notes in Mathematics, 68, Springer-Verlag, Berlin 1968. | MR | Zbl

[3] J.-M. Bony, Principe du maximum dans les espaces de Sobolev, C. R. Acad. Sc., Paris, 265 (1967), 333-336. | MR | Zbl

[4] F. E. Browder, Functional analysis and partial différential equations II, Math. Ann., 145 (1962), 81-226. | MR | Zbl

[5] R.-M. Hervé, Recherches axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel, Ann. Inst. Fourier, 12 (1962), 415-571. | Numdam | MR | Zbl

[6] C. Miranda, Partial Differential Equations of Elliptic Type, Second Revised Edition. Springer-Verlag, Berlin 1970. | MR | Zbl

[7] P. Sjögren, On the adjoint of an elliptic linear differential operator and its potential theory, Ark. Mat., 11 (1973), 153-165. | MR | Zbl