Axiomatique des fonctions biharmoniques. I

Smyrnelis, Emmanuel P.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 25 (1975) no. 1, pp. 35-97.

Les théories axiomatiques existantes de fonctions harmoniques ne s’appliquent pas à des équations simples d’ordre $>2$, comme l’équation biharmonique ${\Delta }^{2}u=\Delta \left(\Delta u\right)=0$ ou le système équivalent $\Delta u_1=-u_2$, $\Delta u_2=0$.

On développe donc ici, au moyen d’un faisceau de couples convenables de fonctions $(u_1,u_2)$ une approche axiomatique locale applicable à des équations du type $L_2(L_{1}u)=0$, où $L_j$ ($j=1,2$) est un opérateur linéaire du second ordre elliptique ou parabolique. Deux axiomatiques harmoniques lui sont associées. On traite, dans ce cadre, le problème (généralisé) de Riquier en étendant la méthode Perron-Wiener-Brelot et on montre ensuite que l’étude de la régularité d’un point-frontière par rapport à ce problème se ramène à celle de la régularité harmonique.

The existing axiomatic theories of harmonic functions do not apply to simple equations of order $>2$, like the biharmonic equation ${\Delta }^{2}u=\Delta \left(\Delta u\right)=0$ or the equivalent system $\Delta u_1=-u_2$, $\Delta u_2=0$.

By means of a sheaf of suitable pairs of functions $(u_1,u_2)$, a local axiomatic theory is therefore constructed to which two harmonic sheafs are associated. It applies to equations to type $L_2(L_{1}u)=0$, where $L_j$ ($j=1,2$) is a linear second-order operator, elliptic or parabolic. In this setting, the Perron-Wiener-Brelot method is extended to treat the (generalized) Riquier problem, and it is then shown that the question of regularity of a boundary point with respect to this problem can be reduced to harmonic regularity.

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