Dimension algébrique de sous-groupes analytiques de variétés de groupe

Waldschmidt, Michel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 25 (1975) no. 1, pp. 23-33.

Soient $G$ une variété de groupe définie sur le corps $\overline{\mathbf{Q}}$ des nombres algébriques, et $\varphi :{\mathbf{C}}^n\to G_{\mathbf{C}}$ un sous-groupe à $n$ paramètres de $G$, de dimension algébrique $d$. Nous nous proposons de majorer le rang $\ell$ (sur $\mathbf{Z}$) des sous-groupes $\Gamma$ de ${\mathbf{C}}^n$ dont l’image par $\varphi$ est contenue dans le groupe $G_{\overline{\mathbf{Q}}}$ des points algébriques de $G$.

E. Bombieri et S. Lang ont déjà obtenu de telles majorations, en supposant que les points de $\Gamma$ sont très bien distribués : pour $d\ge n+1$, on a $\ell \le n^2+3n$ pour des variétés linéaires, et $\ell \le 2n^2+4n$ pour des variétés abéliennes .

Nous raffinons ces majorations en montrant que, sous les mêmes hypothèses, on a $\ell d\le n(\ell +d)$ dans le cas linéaires, et $\ell d\le n(\ell +2d)$ dans le cas abélien. Ces majorations deviennent respectivement $\ell \le 2n-1$ et $\ell \le 2n$ quand on suppose de plus $\Gamma \subset {\overline{\mathbf{Q}}}^n$ et $d\ge n+1$. Nous obtiendrons d’autres inégalités sous des hypothèses de répartition moins fortes.

Ces résultats sont des corollaires d’un critère arithmétique pour que des fonctions, méromorphes dans ${\mathbf{C}}^n$ et d’ordre fini, soient algébriquement dépendantes sur $\mathbf{Q}$.

Let $G$ be a group variety defined over the field $\overline{\mathbf{Q}}$ of algebraic numbers; let $\varphi :{\mathbf{C}}^n\to G_{\mathbf{C}}$ be a $n$-parameter subgroup of $G$, of algebraic dimension $d$. We bound the rank $\ell$ (over $\mathbf{Z}$) of the subgroups $\Gamma$ of ${\mathbf{C}}^n$, such that $\varphi \left(\Gamma \right)$ is contained in the group $G_{\overline{\mathbf{Q}}}$ of algebraic points of $G$.

E. Bombieri and S. Lang gave such bounds when the points of $\Gamma$ are sufficiently well distributed: for $d\ge n+1$, one has $\ell \le n^2+3n$ for linear varieties, and $\ell \le 2n^2+4n$ for abelian varieties.

We improve these bounds, by showing that, under the same hypothesis, one has $\ell d\le n(\ell +d)$ in the linear case, and $\ell d\le n(\ell +2d)$ in the abelian case. These bounds are replaced by $\ell \le 2n-1$ and $\ell \le 2n$ respectively, when we assume, moreover, that $\Gamma \subset {\overline{\mathbf{Q}}}^n$ and $d\ge n+1$. We get other inequalities with weaker distribution hypothesis.

These results are obtained as corollaries of an arithmetic criterion for the algebraic dependence of meromorphic functions in ${\mathbf{C}}^n$, of finite order.

[1] E. Bombieri, Algebraic values of meromorphic maps, Inventiones Math., 10 (1970), 267-287, et 11 (1970), 163-166. | MR | Zbl

[2] E. Bombieri, and S. Lang, Analytic subgroups of group varieties, Inventiones Math., 11 (1970), 1-14. | MR | Zbl

[3] S. Lang, Introduction to transcendental numbers. Reading Mass., Addison Wesley, 1966. | MR | Zbl

[4] S. Lang, Transcendental numbers and diophantine approximations, Bull. Amer. Math. Soc, 77 (1971) 635-677. | MR | Zbl

[5] W.M. Schmidt, Approximation to algebraic numbers, L'Enseignement Math., 27 (1971) 187-253. | MR | Zbl

[6] J.P. Serre, Dependance d'exponentielles p-adiques, Sem. Delange Pisot Poitou, Théorie des Nombres, 7e année, 1965/1966, n° 15, 14 pp. | Numdam | Zbl

[7] M. Waldschmidt, Propriétés arithmétiques des valeurs de fonctions méromorphes algébriquement indépendantes, Acta Arithm., 23 (1973), 19-88. | MR | Zbl

[8] Waldschmidt, Dimension algébrique de sous-groupes analytiques de variétés abéliennes, C.r. Acad. Sci. Paris, Sér. A 274, (1972), 1681-1683. | MR | Zbl

[9] Waldschmidt, Transcendance dans les variétés de groupe, Sem. Delange Pisot Poitou, Théorie des Nombres, 14e année, 1972/1973, n° 23, 16 pp. | Numdam | Zbl