On extensions of holomorphic functions satisfying a polynomial growth condition on algebraic varieties in ${𝐂}^n$

Björk, Jean Erik

Annales de l'Institut Fourier, Tome 24 (1974) no. 4, pp. 157-165.

Soit $V$ une variété algébrique dans $C^n$ ; pour un nombre entier $k$ nous désignerons par $\mathrm{Pol}(V,k)$ toutes les fonctions holomorphes $f\left(z\right)$ sur $V$ qui satisfont à $\left|f\left(z\right)\right|\le C_f(1+|z|{)}^k$ pour chaque point $z\in V$, où $C_f$ est une constante. Nous estimons le plus petit nombre entier $\epsilon (V,k)$ tel que toute fonction $f\in \mathrm{Pol}(V,k)$ admet un prolongement de $V$ dans $C^n$ par un polynôme $P(z_1,...,z_n)$, où le degré de $P$ est majoré par $k+\epsilon (V,k)$. En particulier ${lim}_{k>\infty }\epsilon (V,k)$ est lié à certains groupes de cohomologie à coefficients dans certains faisceaux analytiques cohérents sur $V$. L’existence de $\epsilon (V,k)$ est par exemple une conséquence facile du “Vanishing Theorem” de Kodaira.

Let $V$ be an algebraic variety in $C^n$ and when $k\ge 0$ is an integer then $\mathrm{Pol}(V,k)$ denotes all holomorphic functions $f\left(z\right)$ on $V$ satisfying $\left|f\left(z\right)\right|\le C_f(1+|z|{)}^k$ for all $z\in V$ and some constant $C_f$. We estimate the least integer $\epsilon (V,k)$ such that every $f\in \mathrm{Pol}(V,k)$ admits an extension from $V$ into $C^n$ by a polynomial $P(z_1,...,z_n)$, of degree $k+\epsilon (V,k)$ at most. In particular ${lim}_{k>\infty }\epsilon (V,k)$ is related to cohomology groups with coefficients in coherent analytic sheaves on $V$. The existence of the finite integer $\epsilon (V,k)$ is for example an easy consequence of Kodaira’s Vanishing Theorem.

[1] P. A. Griffiths, Function theory of finite order on algebraic varieties, Journ. of Diff. Geom., 6 (1972), 285-306. | MR | Zbl

[2] L. Ehrenpreis, A fundamental principle for systems of linear differential equations with constant coefficients and some of its applications, Proc. International Symp. on Linear Spaces, Jerusalem (1960). | Zbl

[3] L. Ehrenpreis, Fourier analysis in several complex variables, Pure and Appl. Math., 17 (1970), Wiley-Intersci. Publ. | MR | Zbl

[4] L. Hörmander, L2-estimates and existence theorems for the <ATT>-operator, Acta Math., 113 (1965), 89-152. | Zbl

[5] R. Narasimhan, Cohomology with bounds on complex spaces, Springer Lecture Notes, 155 (1970), 141-150. | MR | Zbl

[6] V. P. Palamodov, Linear differential operators with constant coefficients, Springer-Verlag, 16 (1970). | MR | Zbl

[7] J.-P. Serre, Géométrie analytique et géométrie algébrique, Ann. Inst. Fourier, 6 (1955), 1-42. | Numdam | MR | Zbl

[8] H. Skoda, dʺ-cohomologie à croissance lente dans Cn, Ann. Sci. de l'École Norm. Sup., 4 (1971), 97-121. | Numdam | MR | Zbl

[9] H. Skoda, Applications des techniques à L2 à la théorie des idéaux d'une algèbre de fonctions holomorphes avec poids, Ann. Sci. de l'École Norm. Sup., 5 (1972), 545-579. | Numdam | MR | Zbl