Sur le théorème de Poincaré-Bendixson

Moussu, Robert; Pelletier, Fernand

Annales de l'Institut Fourier, Tome 24 (1974) no. 1, pp. 131-148.

Le but de cet article est de démontrer deux conditions nécessaires de non existence d’ensemble minimal exceptionnel dans un feuilletage $F$ de codimension 1 d’une variété compacte $M$. La première est métrique ; elle porte sur la croissance des feuilles et elle répond à une conjecture de Plante. La seconde est homotopique, elle porte sur les groupes fondamentaux de $M$ et des feuilles de $F$.

De ces deux conditions, nous déduisons deux conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un feuilletage soit sans holonomie. Enfin, ces résultats sont appliqués dans deux cas particuliers :

$-$ les feuilletages d’une variété fibrée sur $S^1$ de fibre $T^2$.

$-$ les feuilletages d’un fibré en cercle $S^1$, transverses à la fibration.

The aim of this article is to prove two necessary conditions of non-existence of exceptional minimal set in a codimension one foliation $F$ on a compact manifold $M$. The first one is about the growth of leaves, and gives an answer to a conjecture of Plante. The second one is about the fundamental groups of $M$ and leaves of $F$.

From this two conditions, we deduce two necessary and sufficient conditions for a foliation to be without holonomy. Then these results are applied to the following cases:

$-$ foliation on a manifold fibred over $S^1$, with $T^2$.

$-$ foliation on the total space of a bundle with fiber $S^1$, transverse to the fibration.

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