Relations entre la convexité dans le complexe et le prolongement des propriétés dans le réel

Mandelbrojt, Szolem

Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972) no. 4, pp. 13-46.

Dans le chapitre I on indique la croissance de $\omega$ et de la fonction convexe $C$ pour que de $log\left|F\right(z\left)\right|\le \pi \left|y\right|-\omega \left(\right|y\left|\right)$ $(y=\mathrm{Im}z)$, $log\left|F\right(n\left)\right|\le -C\left(\right|n\left|\right)$ ($n$ entier quelconque, $F$ fonction entière) résulte $log\left|F\right(z\left)\right|\le \pi \left|y\right|-C\left(a\right|z\left|\right)$. Dans le chapitre II on indique des propriétés fonctionnelles qui sont nécessairement valables sur $[-\pi ,\pi ]$ si on les suppose sur une partie de cet intervalle, la série de Fourier correspondante étant “assez” lacunaire.

Le chapitre III montre l’analogie entre les méthodes employées dans II et celles utilisées dans les séries adhérentes.

Chapter I indicates the growth of $\omega$ and of the convex function $C$ in order that from $log\left|F\right(z\left)\right|\le \pi \left|y\right|-\omega \left(\right|y\left|\right)$ $(y=\mathrm{Im}z)$, $log\left|F\right(n\left)\right|\le -C\left(\right|n\left|\right)$ ($n$ any integer, $F$ entire function) follows that $log\left|F\right(z\left)\right|\le \pi \left|y\right|-C\left(a\right|z\left|\right)$. Chapter II shows functional properties which are necessarily true all over $[-\pi ,\pi ]$ if they are supposed on a part of $[-\pi ,\pi ]$, provided the corresponding Fourier series is “sufficiently” lacunary. Chapter III shows analogies between methods of II and those used in adherent series.

[1] V. Bernstein, Leçons sur les progrès récents de la théorie des séries de Dirichlet, Gauthier-Villars, Paris, 1933. | JFM | Zbl

[2] S. Mandelbrojt, C.R. de l'Académie des Sciences, 209, 1939, p. 977. | JFM | Zbl

[3] S. Mandelbrojt, Quasi-analyticity and properties of flatness of entire functions, Duke Math. Journal, vol. 9, n° 4, 1942. | MR | Zbl

[4] S. Mandelbrojt, Séries de Fourier et classes quasi-analytiques de fonctions. Gauthier-Villars, Paris, 1935. | JFM | Zbl

[5] S. Mandelbrojt, Séries adhérentes, régularisation des suites, applications, Gauthier-Villars, Paris, 1952. | Zbl

[6] S. Mandelbrojt, Fonctions entières et transformées de Fourier, applications, Publications of the Mathematical Society of Japan, 1967. | MR | Zbl

[7] S. Mandelbrojt, Comptes-Rendus, 272, série A, 1971, p. 1041. | Zbl

[8] S. Mandelbrojt, Comptes-Rendus, 272, série A, 1971, p. 975.

[9] S. Mandelbrojt, École Polytechnique, 2e série, C. n° 32, 1934, p. 327.