Potentiel markovien récurrent des chaînes de Harris

Neveu, Jacques

Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972) no. 2, pp. 85-130.

Nous montrons que toute probabilité de transition sur un espace mesurable correspondant à une chaîne de Markov vérifiant la condition de récurrence de Harris, admet au moins un opérateur potentiel positif ; à partir de là, nous développons une théorie du “potentiel logarithmique” pour ces probabilités de transition, en étudiant notamment de manière approfondie un cône de fonctions dites spéciales.

Given a transition probability $P=\left(P\right(x,A);x\in E,A\in 𝒜)$ on a separable measurable space $(E,)$, we study minorations of the form

$$U_h(x,dy)\ge a\left(x\right)m\left(dy\right)$$

for the potential operators $U_h={\sum }_{\mathbf{N}}(P{M}_{1-h}{)}^{n}P$, where $h$ denotes a measurable function from $E$ to $(0,1)$ and where $M_k$ is the multiplication operator by $k$. We show for instance that if $P$ verifies Harris’ recurrence relation, then there exists a strictly positive $h$ for which $U_h\ge 1\otimes \mu$, where $\mu$ is the $P$-invariant measure. This result allows us 1) to define positive $\sigma$-finite potential operators in this recurrent case that satisfy the usual principles of potential theory 2) to solve the Poisson equations for functions of for measures in a more general and more natural setting than before. The extension of these results to resolvents is briefly indicated at the end.

[1] A. Brunel, Chaînes abstraites de Markov vérifiant une condition de Orey, à paraître. | Zbl

[2] M. Duflo, Opérateurs potentiels des chaînes et des processus de Markov irréductibles, Bull. Soc. Math., 98 (1970), 127-163. | Numdam | MR | Zbl

[3] S. Foguel, Ergodic theory of Markov process, Van Nostrand, (1970).

[4] T. E. Harris, The existence of stationary measures for certain Markov processes, Third Berkeley Symp. Math Stat., Proba. II (1956), 113-124. | MR | Zbl

[5] S. Horowicz, Transitions probabilities and Contractions of L∞ (à paraître).

[6] G. A. Hunt, La théorie du potentiel et les processus récurrents. Ann. Inst. Fourier, 15 (1965), 3-12. | Numdam | MR | Zbl

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[9] P. A. Meyer, Équation de Poisson. Séminaire de Strasbourg, 1969-1970.

[10] J. Neveu, Potentiel markovien discret, Ann. Fac. Sc. Clermont, 24 (1964), 37-89.

[11] J. Neveu, Bases Mathématiques des Probabilités, Masson, 2e édition (1970). | MR | Zbl

[12] J. Neveu, Potentiel markovien récurrent pour une chaîne de Harris, C.R. Acad. Sci. Paris, 272 (1971), 270-272. | MR | Zbl

[13] S. Orey, Lecture notes for Markov chain transition probability functions. Univ. of Minnesota, Minneapolis (1968) 92 p. | Zbl