The quasi topology associated with a countably subadditive set function

Fuglede, Bent

Annales de l'Institut Fourier, Tome 21 (1971) no. 1, pp. 123-169.

On fait une étude générale d’une fonction croissante et dénombrablement sous-additive d’ensemble, appelée capacité, définie sur les parties d’un espace topologique $X$. Le but principal est l’étude des propriétés “quasi-topologiques” des parties de $X$, ou des fonctions numériques sur $X$, par rapport à une telle capacité $C$. On obtient des résultats analogues à diverses propriétés importantes de la topologie fine en théorie du potentiel, notamment la propriété “quasi Lindelöf” (Doob), l’existence d’un support fin (Getoor), et l’allure de la capacité pour des familles décroissantes d’ensembles (Brelot). Cette analogie se transforme en une vraie identité lorsqu’on suppose une certaine compatibilité entre la capacité $C$ et une nouvelle topologie (dite “fine”) sur $X$. On obtient des conditions suffisantes pour cette compatibilité dans le cas de la topologie fine associée à un cône convexe de fonctions semi-continues inférieurement sur $X$.

This is a general study of an increasing, countably subadditive set function, called a capacity, and defined on the subsets of a topological space $X$. The principal aim is the study of the “quasi-topological” properties of subsets of $X$, or of numerical functions on $X$, with respect to such a capacity $C$. Analogues are obtained to various important properties of the fine topology in potential theory, notably the quasi Lindelöf principle (Doob), the existence of a fine support (Getoor), and the theorem on capacity for decreasing families of sets (Brelot). This analogy becomes an actual identity if a certain compatibility is assumed betweeh the capacity $C$ and a new homology (called “fine”) on $X$. Sufficient conditions are obtained with a convex cone of lower semicontinuous functions on $X$.

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