Braid groups of normalizers of reflection subgroups

Gobet, Thomas; Henderson, Anthony; Marin, Ivan

Annales de l'Institut Fourier, Tome 71 (2021) no. 6, pp. 2273-2304.

Soit $W_0$ un sous-groupe de réflexions d’un groupe de réflexions complexe fini $W$, et soient $B_0$ et $B$ leurs groupes de tresses respectifs. Dans le but de construire une algèbre de Hecke ${\tilde{H}}_0$ associée au normalisateur $N_W\left(W_0\right)$, on considère dans un premier temps un sous-quotient naturel ${\tilde{B}}_0$ de $B$ qui est une extension de $N_W\left(W_0\right)/W_0$ par $B_0$. On prouve que cette extension est scindée lorsque $W$ est un groupe de Coxeter, ce qui permet de construire une base standard de l’algèbre de Hecke ${\tilde{H}}_0$. Dans le cas des groupes de réflexions complexes finis qui ne sont pas des groupes de Coxeter, on donne des exemples de cas de figure où l’extension est scindée, ainsi que d’autres exemples où elle ne l’est pas.

Let $W_0$ be a reflection subgroup of a finite complex reflection group $W$, and let $B_0$ and $B$ be their respective braid groups. In order to construct a Hecke algebra ${\tilde{H}}_0$ for the normalizer $N_W\left(W_0\right)$, one first considers a natural subquotient ${\tilde{B}}_0$ of $B$ which is an extension of $N_W\left(W_0\right)/W_0$ by $B_0$. We prove that this extension is split when $W$ is a Coxeter group, and deduce a standard basis for the Hecke algebra ${\tilde{H}}_0$. We also give classes of both split and non-split examples in the non-Coxeter case.

Classification : 20F36, 20F55, 20C08
Keywords: Braid groups, reflection groups, Coxeter groups, Hecke algebras
Mot clés : Groupes de tresses, groupes de réflexions, groupes de Coxeter, algèbres de Hecke

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