La théorie spectrale et les représentations d'algèbres de Dirichlet

Khan Bui Doan

Annales de l'Institut Fourier, Tome 19 (1969) no. 2, pp. 115-128.

À chaque homomorphisme $(T_f{)}_{f\in A}$ d’une algèbre de Dirichlet $A$ dans l’espace $\mathbf{L}\left(H\right)$ des opérateurs d’un espace hilbertien $H$, on associe une mesure $\omega (·)$ à valeurs dans $\mathbf{L}\left(H\right)$ telle que $T_f=\int fd\omega ,\forall f\in A$. On étudie les relations entre les propriétés de $(T_f{)}_{f\in A}$ et la mesure $\omega (·)$, ce qui permet d’étendre et de compléter quelques résultats de C. Foias et de Sz. Nagy-Foias.

For each algebra homomorphism $(T_f{)}_{f\in A}$ of a Dirichlet algebra $A$ into the space of all continuous linear operators in a complex Hilbert space, one associates an operator-valued measure $\omega (·)$ such that $T_f=\int fd\omega ,\forall f\in A$. We investigate the relations between the properties of $(T_f{)}_{f\in A}$ and the measure $\omega (·)$, which give in particular a generalization of some results of Foias and Sz. Nagy-Foias.

[1] C. Foias, La mesure harmonique spectrale et la théorie spectrale des opérateurs généraux d'un espace de Hilbert, Bull. Soc. Math. France, 85 (1957), 263-282. | Numdam | MR | Zbl

[2] C. Foias, Certaines applications des ensembles spectraux. I Mesure harmonique spectrale, Studii si cercetari mat. 14 (1959), 365-401 et Amer. Math. Soc. Transl., ser. II, vol. 61, 25-62. | MR | Zbl

[3] C. Foias et I. Suciu, Szegö measures and spectral theory in Hilbert spaces, Rev. roumaine Math. Pures Appl., t. 11 (1966), 147-159. | MR | Zbl

[4] I. Glicksberg and J. Wermer, Measures orthogonal to a Dirichlet algebra, Duke Math. J., 30 (1963), 661-666. | MR | Zbl

[5] P. R. Halmos, Introduction to Hilbert spaces and the theory of spectral multiplicity (1957), New-York. | Zbl

[6] B. D. Khanh, Sur les mesures de Szegö, Bull. Acad. Pol. Sc., (1969). | MR | Zbl

[7] B. D. Khanh, Sur les sous-espaces invariants des opérateurs normaux, à paraître dans Bull. Sc. Math. | Zbl

[8] W. Mlak, Characterization of completely non-unitary contraction in Hilbert space, Bull. Acad. Pol. Sc., 11 (1963), 111-113. | MR | Zbl

[9] W. Mlak, On semi-groups of contractions in Hilbert spaces, Studia Math., 26 (1966), 263-272. | MR | Zbl

[10] B. Sz. Nagy et C. Foias, Une relation parmi les vecteurs propres d'un opérateur de l'espace de Hilbert et de l'opérateur adjoint, Acta Sc. Math. Szeged, 20 (1959), 91-96. | MR | Zbl

[11] B. Sz. Nagy et C. Foias, Analyse harmonique des opérateurs de l'espace de Hilbert (1967), Budapest. | MR | Zbl

[12] Wermer, On invariant subspaces of normal operators, Proc. Amer. Math. Soc., 3 (1952), 270-277. | MR | Zbl