Masse auf lokalbeschränkten Raümen

Sondermann, Dieter

Annales de l'Institut Fourier, Tome 19 (1969) no. 2, pp. 33-113.

Les mesures sur un espace localement borné, c’est-à-dire topologique séparé dont tous les points possèdent un voisinage “borné”, comprennent à la fois les mesures de Radon sur un espace complètement régulier et les mesures au sens d’Alexandroff-Varadarajan bornées ou non. La théorie des mesures sur un espace localement borné est une concrétisation des théories abstraites de l’intégration selon Stone et Loomis. Contrairement aux méthodes connues de représentation concrète des mesures abstraites par compactification dues à Kakutani et Bauer, l’on peut toujours réduire les mesures abstraites au cas des mesures sur un espace uniforme localement borné sans introduire de points idéaux dans l’espace mesuré original ; c’est-à-dire les mesures abstraites sont complètement subordonnées aux mesures topologiques traitées ici.

L’intégrale développée dans cet article comprend – selon le degré de continuité de la mesure – l’intégrale de Riemann selon Loomis, la première ou la seconde intégrale de Stone, ou, dans le cas d’un espace localement compact, l’intégrale de Bourbaki. Les divers degrés de continuité des mesures sont caractérisés à l’aide du compactifié local. Dans le dernier chapitre, on étudie les relations entre la structure d’un espace localement borné et les propriétés de ses mesures. Divers types de compacité sont caractérisés par des mesures. En particulier, on donne une caractérisation des espaces réels compacts de Hewitt, en corrigeant les suppositions fausses de quelques auteurs. Cette caractérisation a des conséquences pour le problème d’existence de cardinaux mesurables.

The measure theory on a locally bounded space – i.e. a Hausdorff space with a “bounded” neighbourhood of each point – may be looked at from three different points of view. Firstly it is an extension of the measure theory of Bourbaki from locally compact spaces to more general topological spaces. Secondly from the point of view of the russian measure theorists Alexandroff, Prokhorov and Varadarajan it is an extension of their theory to measures which are not necessarily bounded. Finally the measure theory developed here may be regarded as the concrete version of the abstract theories of Stone and Loomis. This version is set up without leaving the original measure space by the introduction of ideal points – as is done by the well-known methods of compactification due to Kakutani and Bauer.

The notion of integral developed in this article comprises – depending on the continuity properties of the measure considered – the Riemann integral as defined by Loomis, the first or the second Stone integral or – in case of a locally compact space – the Bourbaki integral. The different types of continuity of measures are characterized by making use of local compactification.

The relations between the structure of a locally bounded space and the properties of his measures are studied in the last chapter. Different types of compactness are given a measure theoretic characterisation. Especially such a characterisation is given to the real compact spaces of Hewitt, since the results of some authors in this subject proved wrong. This result has some implications on the existence problem of measurable cardinals.

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