Local and infinitesimal rigidity of simply connected negatively curved manifolds

Biswas, Kingshook

Annales de l'Institut Fourier, Tome 66 (2016) no. 6, pp. 2507-2523.

Soit $(X,g_0)$ un variété Riemannienne simplement connexe à courbure $K\le -1$. Pour une métrique $g$ qui est égale à $g_0$ en dehors d’un compact l’identité de $X$ s’étend à une application conforme ${\widehat{id}}_{g_0,g}:{\partial }_{g_0}X\to {\partial }_{g}X$ entre les bords à l’infini de $X$ par rapport à $g_0$ et $g$. On définit une fonction $S\left(g\right)$ sur l’espace des geodésiques de $(X,g_0)$, appelé le Schwarzian integré de $g$, qui quantifie la déviation de cette application d’être Moebius. On utilise le Schwarzian integré pour démontrer des théorèmes de rigidité locale et infinitesimale pour tels déformations métriques.

Let $(X,g_0)$ be a simply connected Riemannian manifold with sectional curvature $K\le -1$. For a metric $g$ on $X$ which is equal to $g_0$ outside a compact the identity map of $X$ induces a conformal map ${\widehat{id}}_{g_0,g}:{\partial }_{g_0}X\to {\partial }_{g}X$ between the boundaries at infinity of $X$ with respect to $g_0$ and $g$. We define a function $S\left(g\right)$ on the space of geodesics of $(X,g_0)$, called the integrated Schwarzian of $g$, which measures the deviation of this conformal map from being Moebius. We use the integrated Schwarzian to prove local and infinitesimal rigidity results for such metric deformations.

Classification : 53C24
Keywords: Negatively curved manifolds, Moebius, cross-ratio
Mot clés : Variétes à courbure negative, birapport, Moebius

[1] Biswas, Kingshook On Moebius and conformal maps between boundaries of CAT(-1) spaces, Annales de l’Institut Fourier, Tome 65, no. 3, Volume 65 (2015) no. 3, pp. 1387-1422 | DOI

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