Local and infinitesimal rigidity of simply connected negatively curved manifolds

Biswas, Kingshook

doi:10.5802/aif.3070

Local and infinitesimal rigidity of simply connected negatively curved manifolds
[Rigidité locale et infinitésimal des variétés simplement connexes à courbure négative]

Biswas, Kingshook ¹

¹ RKM Vivekananda University Belur Math WB-711 202 (India)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 66 (2016) no. 6, pp. 2507-2523.

Résumé
Abstract

Soit $(X, g_{0})$ un variété Riemannienne simplement connexe à courbure $K \leq - 1$ . Pour une métrique $g$ qui est égale à $g_{0}$ en dehors d’un compact l’identité de $X$ s’étend à une application conforme ${\hat{i d}}_{g_{0}, g} : \partial_{g_{0}} X \to \partial_{g} X$ entre les bords à l’infini de $X$ par rapport à $g_{0}$ et $g$ . On définit une fonction $S (g)$ sur l’espace des geodésiques de $(X, g_{0})$ , appelé le Schwarzian integré de $g$ , qui quantifie la déviation de cette application d’être Moebius. On utilise le Schwarzian integré pour démontrer des théorèmes de rigidité locale et infinitesimale pour tels déformations métriques.

Let $(X, g_{0})$ be a simply connected Riemannian manifold with sectional curvature $K \leq - 1$ . For a metric $g$ on $X$ which is equal to $g_{0}$ outside a compact the identity map of $X$ induces a conformal map ${\hat{i d}}_{g_{0}, g} : \partial_{g_{0}} X \to \partial_{g} X$ between the boundaries at infinity of $X$ with respect to $g_{0}$ and $g$ . We define a function $S (g)$ on the space of geodesics of $(X, g_{0})$ , called the integrated Schwarzian of $g$ , which measures the deviation of this conformal map from being Moebius. We use the integrated Schwarzian to prove local and infinitesimal rigidity results for such metric deformations.

Reçu le : 2016-01-11
Accepté le : 2016-03-24
Publié le : 2016-10-04

DOI : 10.5802/aif.3070

Classification : 53C24
Keywords: Negatively curved manifolds, Moebius, cross-ratio
Mot clés : Variétes à courbure negative, birapport, Moebius

Affiliations des auteurs :

Biswas, Kingshook ¹

¹ RKM Vivekananda University Belur Math WB-711 202 (India)

@article{AIF_2016__66_6_2507_0,
     author = {Biswas, Kingshook},
     title = {Local and infinitesimal rigidity of simply connected negatively curved manifolds},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {2507--2523},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {66},
     number = {6},
     year = {2016},
     doi = {10.5802/aif.3070},
     language = {en},
     url = {https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.3070/}
}

TY  - JOUR
AU  - Biswas, Kingshook
TI  - Local and infinitesimal rigidity of simply connected negatively curved manifolds
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2016
SP  - 2507
EP  - 2523
VL  - 66
IS  - 6
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.3070/
DO  - 10.5802/aif.3070
LA  - en
ID  - AIF_2016__66_6_2507_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Biswas, Kingshook
%T Local and infinitesimal rigidity of simply connected negatively curved manifolds
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2016
%P 2507-2523
%V 66
%N 6
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.3070/
%R 10.5802/aif.3070
%G en
%F AIF_2016__66_6_2507_0

Biswas, Kingshook. Local and infinitesimal rigidity of simply connected negatively curved manifolds. Annales de l'Institut Fourier, Tome 66 (2016) no. 6, pp. 2507-2523. doi : 10.5802/aif.3070. https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.3070/

Bibliographie
Cité par

[1] Biswas, Kingshook On Moebius and conformal maps between boundaries of CAT(-1) spaces, Annales de l’Institut Fourier, Tome 65, no. 3, Volume 65 (2015) no. 3, pp. 1387-1422 | DOI

[2] Bourdon, M. Structure conforme au bord et flot géodésique d’un CAT(-1) espace, Enseign. Math., Volume 41 (1995) no. 1-2, pp. 63-102

[3] Bourdon, M. Sur le birapport au bord des CAT(-1) espaces, Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci., Volume 83 (1996), pp. 95-104 | DOI

[4] Burns, K.; Katok, A. Manifolds with non-positive curvature, Ergodic Theory and Dynamical Systems, Volume 5 (1985), pp. 307-317 | DOI

[5] Croke, C. B.; Dairbekov, N. S.; Sharafutdinov, V. A. Local boundary rigidity of a compact Riemannian manifold with curvature bounded above, Transactions of the A.M.S., Volume 352 (2000) no. 9, pp. 3937-3956 | DOI

[6] Croke, C. B.; Sharafutdinov, V. A. Spectral rigidity of a compact negatively curved manifold, Topology, Volume 37 (1998), pp. 1265-1273 | DOI

[7] Guillemin, V.; Kazhdan, D. Some inverse spectral results for negatively curved 2-manifolds, Topology,, Volume 19 (1980), pp. 301-312 | DOI

[8] Otal, J.P. Le spectre marqué des longueurs des surfaces à courbure négative, Annals of Mathematics, Volume 131 (1990), pp. 151-162 | DOI

[9] Otal, J.P. Sur les longueurs des géodésiques d’une métrique à courbure négative dans le disque, Commentarii Mathematici Helvetici, Volume 65 (1990), pp. 334-347 | DOI

[10] Sharafutdinov, V. A. Integral geometry of tensor fields, VSP, Utrecht, The Netherlands, 1994, 231 pages

Cité par Sources :