Semi-groupes de Feller sur une variété à bord compacte et problèmes aux limites intégro-différentiels du second ordre donnant lieu au principe du maximum

Bony, Jean-Michel; Courrège, Philippe; Priouret, Pierre

Annales de l'Institut Fourier, Tome 18 (1968) no. 2, pp. 369-521.

On étudie les semi-groupes d’opérateurs positifs et contractants sur l’espace $C\left(M\right)$ des fonctions continues sur une variété à bord compacte $M$. En désignant par $A$ le générateur infinitésimal de ce semi-groupe, et par ${𝒟}_A$ son domaine, et en supposant que ${𝒟}_A$ contient suffisamment de fonctions de classe $C^2$, on obtient les résultats suivants : l’opérateur $A$ est le prolongement d’un opérateur intégro-différentiel $W$ dont on détermine la forme avec précision ; les fonctions régulières du domaine vérifient la relation $Lu=0$, où $L$ est un opérateur intégro-différentiel à la frontière, dont on précise également la nature.

Réciproquement, étant donné des opérateurs $W$ et $L$ du type précédent, on résout, sous des hypothèses de régularité et d’ellipticité convenables, le problème aux limites intégro-différentiel suivant : $Wu=f$ sur $M$ ; $Lu=\varphi$ sur $\partial M$. O en déduit la construction d’un semi-groupe associé aux opérateurs $W$ et $L$.

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