Paires admissibles d’une algèbre de Lie simple complexe et $W$-algèbres finies.

Sadaka, Guilnard

Annales de l'Institut Fourier, Tome 66 (2016) no. 2, pp. 833-870.

Soient $𝔤$ une algèbre de Lie simple complexe et $e$ un élément nilpotent de $𝔤$. Dans cet article, on s’intéresse au problème, soulevé par Premet, d’isomorphisme entre les $W$-algèbres finies construites à partir de certaines sous-algèbres nilpotentes de $𝔤$, dites $e$-admissibles. On considère une version graduée de ce problème et on introduit les notions de paire et graduation $e$-admissibles. On montre que la $W$-algèbre associée à une paire $e$-admissible possède des propriétés similaires à celle introduite par Gan et Ginzburg. De plus, on définit une relation d’équivalence sur l’ensemble des paires admissibles et montre que si deux paires sont équivalentes, alors les $W$-algèbres associées sont isomorphes. En introduisant la notion de la connexité pour les graduations $e$-admissibles, on réduit le problème d’isomorphisme à l’étude de l’équivalence des paires admissibles pour une graduation admissible fixée. Ceci nous permet de montrer ensuite que les paires admissibles relativement aux graduations $b$-optimales sont équivalentes. On retrouve comme cas particulier un résultat de Brundan et Goodwin. Dans la dernière partie, on utilise nos résultats pour résoudre complètement le problème d’isomorphisme dans quelques cas particuliers.

Let $𝔤$ be a complex simple Lie algebra and $e$ a nilpotent element of $𝔤$. We are interested in the isomorphism question (raised by Premet) between the finite $W$-algebras constructed from some nilpotent subalgebras of $𝔤$ called $e$-admissible. We introduce the concept of $e$-admissible pair and $e$-admissible grading. We show that the $W$-algebra associated to an $e$-admissible pair admits similar properties to the ones introduced by Gan and Ginzburg. Moreover, we define an equivalence relation on the set of admissible pairs and we show that if two admissible pairs are equivalent, it follows that the associated $W$-algebras are isomorphic. By introducing the notion of connectivity of admissible gradings, we reduce the isomorphism question to the study of the equivalence of admissible pairs for a fixed admissible grading. This allows us to prove that admissible pairs relative to $b$-optimal gradings are equivalent, hence the corresponding $W$-algebras are isomorphic. We recover as a special case a result of Brundan and Goodwin. In the final part, we use our results to find a complete answer to the isomorphism question in some particular cases.

Classification : 17B20, 17B35
Mot clés : $W$-algèbre finie, paire admissible, graduation admissible.
Keywords: Finite $W$-algebra, Admissible pair, Admissible grading.

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