Filtration associated to torsion semi-stable representations

Liu, Tong

Annales de l'Institut Fourier, Tome 65 (2015) no. 5, pp. 1999-2035.

Soient $p$ un nombre premier impair, $K$ une extension finie de ${\mathbb{Q}}_p$ et $G:=Gal({\overline{\mathbb{Q}}}_p/K)$ son groupe de Galois absolu. Nous construisons et étudions différentes filtrations associées aux représentations semi-stables de $G$. Nous démontrons en particulier que deux représentations semi-stables de $G$ ont le même type de Hodge–Tate si elles sont congrues modulo $p^n$ avec $n\ge c^{\text{'}}$, où $c^{\text{'}}$ est une constante dépendant uniquement de $K$ et des différences entre les plus grands et les plus petits poids de Hodge-Tate des deux représentations. Comme application, nous redémontrons une partie d’un résultat de Kisin portant sur l’existence d’un quotient de l’anneau des déformations universelles paramétrisant les représentations semi-stables dont le type de Hodge-Tate est fixé.

Let $p$ be an odd prime, $K$ a finite extension of ${\mathbb{Q}}_p$ and $G:=Gal({\overline{\mathbb{Q}}}_p/K)$ the Galois group. We construct and study filtration structures associated torsion semi-stable representations of $G$. In particular, we prove that two semi-stable representations share the same $p$-adic Hodge-Tate type if they are congruent modulo $p^n$ with $n\ge c^{\text{'}}$, where $c^{\text{'}}$ is a constant only depending on $K$ and the differences between the maximal and minimal Hodge-Tate weights of two representations. As an application, we reprove a part of Kisin’s result: the existence of a quotient of the universal Galois deformation ring which parameterizes semi-stable representations with a fixed $p$-adic Hodge-Tate type.

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