Formes compagnons et complexe BGG dual pour $GS{p}_4$

Tilouine, J.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 62 (2012) no. 4, pp. 1383-1436.

On montre, sous certaines hypothèses un résultat en direction de la conjecture de Serre pour $GS{p}_4$ formulée dans un autre article avec F. Herzig : si la représentation résiduelle associée à une forme de Siegel de genre $2$, de niveau premier à $p$, $p$-ordinaire de poids $p$-petit, laisse stables deux droites (au lieu d’une) dans un plan lagrangien, alors cette forme possède une forme compagnon de poids prescrit. Notre méthode consiste à traduire, grâce au théorème de comparaison mod. $p$ de Faltings, l’existence de la forme compagnon en celle d’une solution d’une équation différentielle fournie par le complexe BGG dual sur le lieu ordinaire de la variété de Siegel. La limitation principale de cette méthode est celle de la théorie de Fontaine-Laffaille. Par contre, elle semble généralisable à d’autres groupes admettant des variétés de Shimura PEL.

We show, under certain assumptions, a result towards the Serre conjecture for $GS{p}_4$ as formulated in another paper with F. Herzig: if the residual representation associated to a genus two cusp form of $p$-small weight, $p$-ordinary of prime-to-$p$ level, leaves stable two distinct lines (instead of one) in a lagrangian plane, then this form admits a companion form of prescribed weight. Ou proof produces only a $p$-adic eigenform. It consists in translating, thanks to Faltings’ mod.$p$ comparison theorem, the existence of the companion form into that of a solution of a differential equation provided by the dual BGG complex on the ordinary locus of the Siegel variety. The main limitation of the method is that of the Fontaine-Laffaille theory. On the other hand, it should apply to other groups admitting PEL Shimura varieties.

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