The diffeomorphism group of a Lie foliation

Hector, Gilbert; Macías-Virgós, Enrique; Sotelo-Armesto, Antonio

Annales de l'Institut Fourier, Tome 61 (2011) no. 1, pp. 365-378.

Nous décrivons explicitement le groupe des difféomorphismes transverses de plusieurs types de feuilletages linéaires minimaux sur le tore $T^n$, $n>2$. En particulier, nous montrons que les feuilletages non quadratiques sont rigides, en ce sens que leurs seuls difféomorphismes sont $\pm \mathrm{Id}$. La description découle d’une formule générale valable pour le groupe des difféomorphismes transverses de tout feuilletage de Lie minimal sur une variété compacte. Nos résultats généralisent ceux de P. Donato et P. Iglesias pour $T^2$, P. Iglesias et G. Lachaud pour les feuilletages de codimension un sur $T^n$, $n\ge 2$, et de B. Herrera pour les feuilletages transcendants. Le cadre théorique de l’article est celui des espaces difféologiques de J. M. Souriau.

We describe explicitly the group of transverse diffeomorphisms of several types of minimal linear foliations on the torus $T^n$, $n\ge 2$. We show in particular that non-quadratic foliations are rigid, in the sense that their only transverse diffeomorphisms are $\pm \mathrm{Id}$ and translations. The description derives from a general formula valid for the group of transverse diffeomorphisms of any minimal Lie foliation on a compact manifold. Our results generalize those of P. Donato and P. Iglesias for $T^2$, P. Iglesias and G. Lachaud for codimension one foliations on $T^n$, $n\ge 2$, and B. Herrera for transcendent foliations. The theoretical setting of the paper is that of J. M. Souriau’s diffeological spaces.

Classification : 57R30, 22E65, 58D05, 58B25
Keywords: Diffeological space, diffeomorphism group, Lie foliation, linear flow
Mot clés : espace difféologique, groupe des difféomorphismes, feuilletage de Lie

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