An explicit formula for the Hilbert symbol of a formal group

Tavares Ribeiro, Floric

Annales de l'Institut Fourier, Tome 61 (2011) no. 1, pp. 261-318.

Abrashkin a établi une formule de Brueckner-Vostokov pour le symbole de Hilbert d’un groupe formel sous la condition d’appartenance de racines de l’unité au corps de base. La motivation première de ce travail réside en la suppression de cette hypothèse. On l’obtient en combinant des méthodes de ($\varphi ,\Gamma$)-modules et une interprétation cohomologique des techniques d’Abrashkin. Pour cela, on construit des ($\varphi ,\Gamma$)-modules adaptés à l’extension dite de la fausse courbe de Tate et on généralise des outils tels que le complexe de Herr avec des formules explicites pour le cup-produit et l’application de Kummer.

A Brückner-Vostokov formula for the Hilbert symbol of a formal group was established by Abrashkin under the assumption that roots of unity belong to the base field. The main motivation of this work is to remove this hypothesis. It is obtained by combining methods of ($\varphi ,\Gamma$)-modules and a cohomological interpretation of Abrashkin’s technique. To do this, we build ($\varphi ,\Gamma$)-modules adapted to the false Tate curve extension and generalize some related tools like the Herr complex with explicit formulas for the cup-product and the Kummer map.

Classification : 11F80, 11S25, 14L05, 11S31, 11S23, 14F30
Keywords: $p$-adic representations, ($\phi ,\Gamma $)-modules, formal groups, explicit reciprocity law
Mot clés : représentations $p$-adiques, ($\phi ,\Gamma $)-modules, groupes formels, loi explicite de réciprocité

[1] Abrashkin, V. A. A ramification filtration of the Galois group of a local field. II, Trudy Mat. Inst. Steklov., Volume 208 (1995) no. Teor. Chisel, Algebra i Algebr. Geom., pp. 18-69 Dedicated to Academician Igor, Rostislavovich Shafarevich on the occasion of his seventieth birthday (Russian) | MR | Zbl

[2] Abrashkin, V. A. Explicit formulas for the Hilbert symbol of a formal group over Witt vectors, Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat., Volume 61 (1997) no. 3, pp. 3-56 | MR | Zbl

[3] Benois, D. Périodes $p$-adiques et lois de réciprocité explicites, J. Reine Angew. Math., Volume 493 (1997), pp. 115-151 | DOI | MR | Zbl

[4] Benois, D. On Iwasawa theory of crystalline representations, Duke Math. J., Volume 104 (2000) no. 2, pp. 211-267 | DOI | MR | Zbl

[5] Berger, L. Représentations $p$-adiques et équations différentielles, Invent. Math., Volume 148 (2002) no. 2, pp. 219-284 | DOI | MR | Zbl

[6] Berger, L. Bloch and Kato’s exponential map: three explicit formulas, Doc. Math. (2003) no. Extra Vol., p. 99-129 (electronic) (Kazuya Kato’s fiftieth birthday.) | MR | Zbl

[7] Berger, L. Limites de représentations cristallines, Compos. Math., Volume 140 (2004) no. 6, pp. 1473-1498 | MR | Zbl

[8] Breuil, C. Une application de corps des normes, Compos. Math., Volume 117 (1999) no. 2, pp. 189-203 | DOI | MR | Zbl

[9] Cherbonnier, F.; Colmez, P. Théorie d’Iwasawa des représentations $p$-adiques d’un corps local, J. Amer. Math. Soc., Volume 12 (1999) no. 1, pp. 241-268 | DOI | MR | Zbl

[10] Coleman, R. F. The dilogarithm and the norm residue symbol, Bull. Soc. Math. France, Volume 109 (1981) no. 4, pp. 373-402 | Numdam | MR | Zbl

[11] Colmez, P. Périodes $p$-adiques des variétés abéliennes, Math. Ann., Volume 292 (1992) no. 4, pp. 629-644 | DOI | MR | Zbl

[12] Fontaine, J.-M. Groupes $p$-divisibles sur les corps locaux, Société Mathématique de France, Paris, 1977 (Astérisque, No. 47-48, i+262 pages) | Numdam | MR

[13] Fontaine, J.-M. Représentations $p$-adiques des corps locaux. I, The Grothendieck Festschrift, Vol. II, Progr. Math., vol. 87, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1990, pp. 249-309 | MR | Zbl

[14] Fontaine, J.-M. Le corps des périodes $p$-adiques, Astérisque (1994) no. 223, pp. 59-111 With an appendix by Pierre Colmez, Périodes $p$-adiques (Bures-sur-Yvette, 1988) | Numdam | MR | Zbl

[15] Fontaine, J.-M.; Laffaille, G. Construction de représentations $p$-adiques, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 15 (1982) no. 4, pp. 547-608 (1983) | Numdam | MR | Zbl

[16] Herr, L. Sur la cohomologie galoisienne des corps $p$-adiques, Bull. Soc. Math. France, Volume 126 (1998) no. 4, pp. 563-600 | Numdam | MR | Zbl

[17] Herr, L. Une approche nouvelle de la dualité locale de Tate, Math. Ann., Volume 320 (2001) no. 2, pp. 307-337 | DOI | MR | Zbl

[18] Honda, T. On the theory of commutative formal groups, J. Math. Soc. Japan, Volume 22 (1970), pp. 213-246 | DOI | MR | Zbl

[19] Kisin, M. Crystalline representations and $F$-crystals, Algebraic geometry and number theory, Volume 253, Progr. Math., Birkhäuser Boston, Boston, MA, 2006, pp. 459-496 | MR | Zbl

[20] Sen, S. On explicit reciprocity laws, J. Reine Angew. Math., Volume 313 (1980), pp. 1-26 | DOI | MR | Zbl

[21] Serre, J.-P. Corps locaux, Hermann, Paris, 1968 (Deuxième édition, Publications de l’Université de Nancago, No. VIII, 245 page.) | MR

[22] Serre, J.-P. Cohomologie galoisienne, fifth, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, 1994 (x+181 pages) | MR | Zbl

[23] Tavares Ribeiro, F. ($\varphi$, $\Gamma$)-modules et loi explicite de réciprocité, Université de Franche-Comté - Besançon, May (2008) (Ph. D. Thesis)

[24] Venjakob, O. A non-commutative Weierstrass preparation theorem and applications to Iwasawa theory, J. Reine Angew. Math., Volume 559 (2003), pp. 153-191 (With an appendix by Denis Vogel) | DOI | MR | Zbl

[25] Vostokov, S. V. Explicit formulas for the Hilbert symbol, Invitation to higher local fields (Münster, 1999) (Geom. Topol. Monogr.), Volume 3, Geom. Topol. Publ., Coventry, 2000, p. 81-89 (electronic) | MR | Zbl

[26] Vostokov, S. V.; Demchenko, O. V. An explicit formula for the Hilbert pairing of formal Honda groups, Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (POMI), Volume 272 (2000) no. Vopr. Teor. Predst. Algebr i Grupp. 7, p. 86-128, 346 | MR | Zbl

[27] Wach, N. Représentations $p$-adiques potentiellement cristallines, Bull. Soc. Math. France, Volume 124 (1996) no. 3, pp. 375-400 | Numdam | MR | Zbl

[28] Wintenberger, J.-P. Le corps des normes de certaines extensions infinies de corps locaux; applications, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 16 (1983) no. 1, pp. 59-89 | Numdam | MR | Zbl