Un théorème à la « Thom-Sebastiani » pour les intégrales-fibres

Barlet, Daniel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 60 (2010) no. 1, pp. 319-353.

L’objet de cet article est de démontrer un théorème «  à la Thom-Sebastiani  » pour les développements asymptotiques des intégrales-fibres des fonctions du type $f\oplus g:(x,y)\to f\left(x\right)+g\left(y\right)$ sur $({ℂ}^p\times {ℂ}^q,(0,0))$ en terme des développements asymptotiques des intégrales-fibres associées aux germes holomorphes $f:({ℂ}^p,0)\to (ℂ,0)$ et $g:({ℂ}^q,0)\to (ℂ,0)$. Ceci se ramène à calculer les développements asymptotiques d’une convolution $\Phi *\Psi$ à partir des développements asymptotiques de $\Phi$ et $\Psi$ modulo les termes non singuliers.

Pour obtenir un résultat précis donnant la non nullité des termes singuliers attendus dans les développements asymptotiques des intégrales-fibres associées à $f\oplus g$, nous devons calculer les constantes qui apparaissent dans la convolution. Nous montrons qu’elles sont données par des fractions rationnelles de facteurs Gamma, ce qui nous permet de montrer qu’elles sont non nulles.

The aim of this article is to prove a Thom-Sebastiani theorem for the asymptotics of the fiber-integrals. This means that we describe the asymptotics of the fiber-integrals of the function $f\oplus g:(x,y)\to f\left(x\right)+g\left(y\right)$ on $({ℂ}^p\times {ℂ}^q,(0,0))$ in term of the asymptotics of the fiber-integrals of the holomorphic germs $f:({ℂ}^p,0)\to (ℂ,0)$ and $g:({ℂ}^q,0)\to (ℂ,0)$. This reduces to compute the asymptotics of a convolution $\Phi *\Psi$ from the asymptotics of $\Phi$ and $\Psi$ modulo smooth terms.

To obtain a precise result, giving the non vanishing of expected singular terms in the asymptotic expansions of the fiber-integrals associated to $f\oplus g$, we have to compute the constants coming from the convolution process. We show that they are given by rational fractions of Gamma factors. This enable us to show that these constants do not vanish.

Classification : 32S25, 32S40, 32S50
Mot clés : développements asymptotiques, intégrales-fibres, théorème de Thom-Sebastiani
Keywords: Asymptotic expansions, fiber-integrals, Thom-Sebastiani theorem

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