Fibrés vectoriels de rang deux sur ${\mathbb{P}}^2$ provenant d’un revêtement double

Vallès, Jean

Annales de l'Institut Fourier, Tome 59 (2009) no. 5, pp. 1897-1916.

Depuis Schwarzenberger et son célèbre article intitulé «  Vector bundles on the projective plane  », on sait que tout fibré de rang deux sur ${\mathbb{P}}^2\left(ℂ\right)$ peut être défini comme l’image directe d’un faisceau inversible sur une surface recouvrant doublement le plan. Ce théorème suggère d’étudier les fibrés de rang deux en fonction de la courbe de ramification du revêtement dont ils proviennent.

Ainsi, dans la première partie on démontre que, étant donné un revêtement ramifié le long d’une courbe irréductible $C_{2r}$ de degré $2r$, les droites sauteuses d’ordre fixé (ordre dépendant de $r$ et de la parité du fibré de rang deux) des fibrés images directes sont nécessairement $r$-tangentes à la courbe $C_{2r}$.

Dans la seconde partie nous nous penchons plus particulièrement sur le cas $r=2$. Nous donnons alors une liste de fibrés pour lesquels les droites sauteuses sont exactement les bitangentes de la quartique de ramification.

Since Schwarzenberger and his celebrated paper called “Vector bundles on the projective plane” we know that any rank two vector bundle on ${\mathbb{P}}^2$ is a direct image of a line bundle on a double covering of the plane. This theorem suggests to study the rank two vector bundles according to the branch curve of the covering which they come from.

Thus, in the first part we prove that, given a double covering ramified over an irreducible curve $C_{2r}$ with degree $2r$, the jumping lines of fixed order (order depending on $r$ and on the parity of the rank two vector bundle) of the direct images vector bundles are necessarely $r$-tangent to $C_{2r}$.

In the second part we concentrate on the case $r=2$. Then we give a list of vector bundles for which the jumping lines are exactly the bitangent lines to the branch quartic.

Classification : 14J60, 14D20
Mot clés : fibrés de rang deux, droites de saut, courbe de ramification, bitangentes
Keywords: Rank two vector bundles, jumping lines, ramification curve, bitangent

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