Transgression and Clifford algebras

Rohr, Rudolf Philippe

Annales de l'Institut Fourier, Tome 59 (2009) no. 4, pp. 1337-1358.

Soit $W$ une algèbre différentielle (pas forcément commutative) munie d’une action libre d’une algèbre de polynôme $SP$ engendrée par des générateurs homogènes $p_1,\cdots ,p_r$. Nous démontrons, que si $W$ est acyclique, alors la cohomologie du quotient $H(W/<p_1,\cdots ,p_r>)$ est isomorphe à une algèbre de Clifford $\text{Cl}(P,B)$, où la forme bilinéaire $B$ (qui peut être dégénérée) dépend de $W$. Cette observation est analogue à un ancien résultat de Borel, dans le contexte non commutatif. Comme application nous étudions le cas où $W$ est l’algèbre de Weil quantifiée, $𝒲\left(𝔤\right)=U𝔤\otimes \text{Cl}𝔤$ avec $𝔤$ une algèbre de Lie réductive. La cohomologie résultante de la différentielle de Weil canonique est une algèbre de Clifford, mais la forme bilinéaire est nulle sur l’espace des invariants primitifs de la partie semi-simple. Comme application nous considérons également la différentielle de Weil déformée (introduite par par Freed, Hopkins and Teleman).

Let $W$ be a differential (not necessarily commutative) algebra which carries a free action of a polynomial algebra $SP$ with homogeneous generators $p_1,\cdots ,p_r$. We show that for $W$ acyclic, the cohomology of the quotient $H(W/$ $<p_1,\cdots ,p_r>)$ is isomorphic to a Clifford algebra $\text{Cl}(P,B)$, where the (possibly degenerate) bilinear form $B$ depends on $W$. This observation is an analogue of an old result of Borel in a non-commutative context. As an application, we study the case of $W$ given by the quantized Weil algebra $𝒲\left(𝔤\right)=U𝔤\otimes \text{Cl}𝔤$ for $𝔤$ a reductive Lie algebra. The resulting cohomology of the canonical Weil differential gives a Clifford algebra, but the bilinear form vanishes on the space of primitive invariants of the semi-simple part. As an application, we consider the deformed Weil differential (following Freed, Hopkins and Teleman ).

Classification : 17B55, 15A75
Keywords: Lie algebras, Weil algebras, quantized Weil algebras, Clifford algebras, Transgression
Mot clés : algèbres de Lie, algèbres de Weil, algèbres de Weil quantifiée, algènbres de Clifford, transgression

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