Le foncteur $V\mapsto {𝔽}_2{\left[V\right]}^{\otimes 3}$ entre ${𝔽}_2$-espaces vectoriels est noethérien

Djament, Aurélien

Annales de l'Institut Fourier, Tome 59 (2009) no. 2, pp. 459-490.

Les foncteurs entre espaces vectoriels, ou représentations génériques des groupes linéaires d’après Kuhn, interviennent en topologie algébrique et en $K$-théorie comme en théorie des représentations. Nous présentons ici une nouvelle méthode pour aborder les problèmes de finitude et la dimension de Krull dans ce contexte.

Plus précisément, nous démontrons que, dans la catégorie $ℱ$ des foncteurs entre espaces vectoriels sur ${𝔽}_2$, le produit tensoriel entre $P^{\otimes 3}$, où $P$ désigne le foncteur projectif $V\mapsto {𝔽}_2\left[V\right]$, et un foncteur de longueur finie est noethérien et déterminons sa structure. Seul était antérieurement connu le caractère noethérien de $P^{\otimes 2}\otimes F$ pour $F$ de longueur finie.

Nous utilisons pour cela plusieurs foncteurs de division, dont nous analysons l’effet sur des foncteurs de type fini de $ℱ$ à l’aide des catégories de foncteurs en grassmanniennes. Cela nous permet de ramener le problème initial à des calculs explicites finis portant sur des représentations modulaires de groupes linéaires (où intervient notamment la représentation de Steinberg), qui renseignent finalement sur des phénomènes infinis en théorie des représentations.

Functors between vector spaces, or generic representations of linear groups after Kuhn intervene in algebraic topology and in $K$-theory as in representation theory. We present here a new method to approach finiteness problems and the Krull dimension in this context.

More precisely, we prove that, in the category $ℱ$ of functors between ${𝔽}_2$-vector spaces, the tensor product between $P^{\otimes 3}$, where $P$ denotes the projective functor $V\mapsto {𝔽}_2\left[V\right]$, and a functor of finite length is noetherian and we determine its structure. The only case known to date was the noetherian character of $P^{\otimes 2}\otimes F$ for $F$ of finite length.

For this we use several division functors, whose effect on finitely generated functors of $ℱ$ is analyzed with the help of grassmannian functor categories. It allows us to reduce the initial problem to finite calculations on modular representations of linear groups (where appears in particular Steinberg’s representation), which inform ultimately on infinite phenomena in representation theory.

Classification : 18A25, 16P60, 18D10, 18E25, 20C33, 55S10
Mot clés : catégories de foncteurs, représentations modulaires, groupes linéaires, foncteurs de division, filtration de Krull, grassmanniennes.
Keywords: Functor categories, modular representations, linear groups, division functors, Krull filtration, grassmannians

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