New models for the action of Hecke operators in spaces of Maass wave forms

Kiming, Ian

Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 6, pp. 1863-1882.

En utilisant la théorie de la transformation de Poisson on obtient des modèles concrets nouveaux de la théorie de Hecke dans un espace $M_{\lambda }\left(N\right)$ de formes d’onde de Maass avec la valeur propre $1/4-{\lambda }^2$ sur un sous-groupe de congruence ${\Gamma }_1\left(N\right)$. On introduit le corps $F_{\lambda }=\mathbb{Q}(\lambda ,\sqrt{n},n^{\lambda /2}\mid n\in \mathbb{N})$ qui est constitué exclusivement des nombres algébriques si $\lambda =0$.

Le résultat principal est le suivant. Si $\Phi =({\nu }_p\mid p\nmid N)$ est un paquet de valeurs propres de Hecke apparaissant dans $M_{\lambda }\left(N\right)$ alors ou bien chaque ${\nu }_p$ est algébrique sur $F_{\lambda }$ ou bien il y a un nombre $m\in \mathbb{N}$ tel que $\Phi$ apparaît dans le premier groupe de cohomologie d’un certain espace $W_{\lambda ,m}$ de fonctions continues sur le cercle unité avec une action de ${\mathrm{SL}}_2\left(ℝ\right)$ bien connue dans la théorie des représentations principales (non-unitaires) de ${\mathrm{SL}}_2\left(ℝ\right)$.

Utilizing the theory of the Poisson transform, we develop some new concrete models for the Hecke theory in a space $M_{\lambda }\left(N\right)$ of Maass forms with eigenvalue $1/4-{\lambda }^2$ on a congruence subgroup ${\Gamma }_1\left(N\right)$. We introduce the field $F_{\lambda }=\mathbb{Q}(\lambda ,\sqrt{n},n^{\lambda /2}\mid n\in \mathbb{N})$ so that $F_{\lambda }$ consists entirely of algebraic numbers if $\lambda =0$.

The main result of the paper is the following. For a packet $\Phi =({\nu }_p\mid p\nmid N)$ of Hecke eigenvalues occurring in $M_{\lambda }\left(N\right)$ we then have that either every ${\nu }_p$ is algebraic over $F_{\lambda }$, or else $\Phi$ will – for some $m\in \mathbb{N}$ – occur in the first cohomology of a certain space $W_{\lambda ,m}$ which is a space of continuous functions on the unit circle with an action of ${\mathrm{SL}}_2\left(ℝ\right)$ well-known from the theory of (non-unitary) principal representations of ${\mathrm{SL}}_2\left(ℝ\right)$.

Classification : 11F70, 11R39, 22E50
Keywords: Maass wave forms, Hecke operators, Hecke eigenvalues, Poisson transform.
Mot clés : formes d’ondes de Maass, opérateurs de Hecke, valeurs propres de Hecke, transformation de Poisson.

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