Baker domains for Newton’s method

Bergweiler, Walter; Drasin, David; Langley, James K.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 3, pp. 803-814.

Pour une fonction entière $f$ soit $N\left(z\right)=z-f\left(z\right)/f^{\prime }\left(z\right)$ la fonction de Newton associée à $f$. Chaque zéro $\xi$ de $f$ est un point fixe attractif de $N$ et appartient à une composante invariante de l’ensemble de Fatou de la fonction méromorphe $N$ dans laquelle les itérées de $N$ convergent vers $\xi$. Si $f$ a une représentation asymptotique $f\left(z\right)\sim exp(-z^n),n\in \mathbb{N}$, dans un secteur $|argz|<\epsilon$, alors il existe une composante invariante de l’ensemble de Fatou de $N$ dans laquelle les itérées de $N$ tendent vers l’infini. Une composante avec cette proprieté est appelée un domaine invariant de Baker.

Une question dans la direction réciproque a été posée par A. Douady : si $N$ a un domaine invariant de Baker, est-ce que $0$ doit être une valeur asymptotique de $f$ ? X. Buff et J. Rückert ont démontré que la réponse est affirmative dans beaucoup de cas.

En utilisant des résultats de Balašov et Hayman, on prouve que la réponse est négative en général : il existe une fonction entière $f$, d’ordre arbitraire entre $\frac{1}{2}$ et $1$, et sans valeurs finies asymptotiques, pour laquelle il existe un domaine invariant de Baker de la fonction de Newton $N$.

For an entire function $f$ let $N\left(z\right)=z-f\left(z\right)/f^{\prime }\left(z\right)$ be the Newton function associated to $f$. Each zero $\xi$ of $f$ is an attractive fixed point of $N$ and is contained in an invariant component of the Fatou set of the meromorphic function $N$ in which the iterates of $N$ converge to $\xi$. If $f$ has an asymptotic representation $f\left(z\right)\sim exp(-z^n),n\in \mathbb{N}$, in a sector $|argz|<\epsilon$, then there exists an invariant component of the Fatou set where the iterates of $N$ tend to infinity. Such a component is called an invariant Baker domain.

A question in the opposite direction was asked by A. Douady: if $N$ has an invariant Baker domain, must $0$ be an asymptotic value of $f$? X. Buff and J. Rückert have shown that the answer is positive in many cases.

Using results of Balašov and Hayman, it is shown that the answer is negative in general: there exists an entire function $f$, of any order between $\frac{1}{2}$ and $1$, and without finite asymptotic values, for which the Newton function $N$ has an invariant Baker domain.

Classification : 30D05, 37F10, 65H05
Keywords: Baker domain, Newton’s method, iteration, Julia set, Fatou set, asymptotic value
Mot clés : domaine de Baker, méthode de Newton, itération, ensemble de Julia, ensemble de Fatou, valeur asymptotique

[1] Balašov, S. K. On entire functions of finite order with zeros on curves of regular rotation, Math. USSR Izvestija (1973) no. 7, pp. 601-627 translation form Izv. Akad. Nauk. SSSR, Ser. Mat. 37 (1973) no 3 | DOI | Zbl

[2] Bergweiler, W. Iteration of meromorphic functions, Bull. Amer. Math. Soc. (1993) no. 29, pp. 151-188 | DOI | MR | Zbl

[3] Bergweiler, W.; Haeseler, F. V.; Kriete, H.; Meier, H. G.; Terglane, N.; Yang, C. C.; Wen, G. C.; Li, K. Y.; Chiang, Y. M. Newton’s method for meromorphic functions, Complex Analysis and its Applications (Notes Math. Ser.), Volume 305, Pitman Res., 1994, pp. 147-158 | Zbl

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[5] Hayman, W. K. On integral functions with distinct asymptotic values, Proc. Cambridge Philos. Soc. (1969) no. 66, pp. 301-315 | MR | Zbl

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[7] Nevanlinna, R. Eindeutige analytische Funktionen, Springer, Göttingen, Heidelberg, 1953 | MR | Zbl

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