Homogénéité locale pour les métriques riemanniennes holomorphes en dimension $3$

Dumitrescu, Sorin

Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 3, pp. 739-773.

Une métrique riemannienne holomorphe sur une variété complexe $M$ est une section holomorphe $q$ du fibré $S^2\left(T^{*}M\right)$ des formes quadratiques complexes sur l’espace tangent holomorphe à $M$ telle que, en tout point $m$ de $M$, la forme quadratique complexe $q\left(m\right)$ est non dégénérée (de rang maximal, égal à la dimension complexe de $M$). Il s’agit de l’analogue, dans le contexte holomorphe, d’une métrique riemannienne (réelle). Contrairement au cas réel, l’existence d’une telle métrique sur une variété complexe compacte n’est nullement assurée et impose des conditions très restrictives à la variété. Dans cet article nous démontrons que sur les variétés complexes compactes connexes de dimension $3$ les métriques riemanniennes holomorphes sont nécessairement localement homogènes (i.e. le pseudo-groupe des isométries locales agit transitivement sur la variété). Dans certains cas, ceci nous conduit à des théorèmes de classification. Il convient de situer ce résultat dans le cadre des structures géométriques rigides au sens de Gromov (à l’instar des métriques pseudo-riemanniennes, les métriques riemanniennes holomorphes sont bien des structures rigides). Nos méthodes mélangent à la fois des arguments de géométrie différentielle rigide, des résultats de la théorie des invariants pour les actions algébriques et des techniques qui viennent de la géométrie analytique complexe.

A holomorphic Riemannian metric on a compact complex manifold $M$ is a holomorphic section $q$ of the bundle $S^2\left(T^{*}M\right)$ of complex quadratic forms on the holomorphic tangent bundle on $M$ such that $q\left(m\right)$ is non degenerated (of maximal rank) for each point $m$ in $M$. This is an analogous of a (real) riemannian metric in the setting of the complex geometry. Contrary to the situation in the real framework, few complex compact manifolds admit holomorphic riemannian metrics. In this paper we show that any holomorphic riemannian metric on a compact complex connected threefold is locally homogeneous ( i.e. the pseudogroup of local isometries acts transitively on $M$). In some particular situations, this leads to classification results. Our method is a mixture of analytic geometry, invariant theory for algebraic actions and differential geometry of Gromov’s rigid geometric structures.

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