Le théorème de Riesz-Raikov-Bourgain pour un endomorphisme algébrique de ${ℝ}^p$

Lootgieter, Jean-Claude

Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 1, pp. 45-126.

Le théorème classique de Riesz-Raikov assure que, pour tout entier $\theta >1$ et toute $f$ de $L^1\left(𝕋\right)$, où $𝕋=ℝ/\mathbb{Z}$, les moyennes

$$\frac{1}{N}\sum _1^{N}f\left({\theta }^{n}x\right)\text{convergent}\text{vers}{\int }_{𝕋}f\left(t\right)\mathrm{d}t$$

pour presque tout point $x$ de $ℝ$. J.Bourgain (cf.Israël Math. Conf. Proc. 1990) a prouvé que la convergence précédente a lieu pour tout réel algébrique $\theta >1$ et toute $f$ de $L^2\left(𝕋\right)$. Dans cet article nous prouvons que, si $\varphi$ est un endomorphisme de ${ℝ}^p$ algébrique sur $\mathbb{Q}$, dont les valeurs propres sont toutes de module $>1$, alors pour toute $f$ de $L^2\left({𝕋}^p\right)$, les moyennes $(1/N){\sum }_1^{N}f\left({\varphi }^{n}x\right)$ convergent vers ${\int }_{{𝕋}^p}f\left(t\right)\mathrm{d}t$ pour presque tout point $x$ de ${ℝ}^p$. Nous suivons et adaptons les arguments développés par J.Bourgain dans l’article précité.

The classical Riesz-Raikov theorem states that, for any integer $\theta >1$ and any $f$ of $L^1\left(𝕋\right)$, where $𝕋=ℝ/\mathbb{Z}$, the averages

$$\frac{1}{N}\sum _1^{N}f\left({\theta }^{n}x\right)\text{converge}\text{to}{\int }_{𝕋}f\left(t\right)\mathrm{d}t$$

for almost every point $x$ of $ℝ$. J.Bourgain (cf.Israël Math. Conf. Proc. 1990) has proved that the preceding convergence takes place for any algebraic number $\theta >1$ and any $f$ of $L^2\left(𝕋\right)$. In this paper we prove that, for any endomorphism $\varphi$ of ${ℝ}^p$ algebraic on $\mathbb{Q}$, whose proper values all have modulus $>1$, for any $f$ of $L^2\left({𝕋}^p\right)$, the averages $1/N{\sum }_1^{N}f\left({\varphi }^{n}x\right)$ converge to ${\int }_{{𝕋}^p}f\left(t\right)\mathrm{d}t$ for almost every point $x$ of ${ℝ}^p$. We follow and adapt J.Bourgain’s arguments as developed in the above mentioned paper.

Classification : 47A35, 11D61, 42B05
Mot clés : Théorème de Riesz-Raikov, théorème ergodique maximal de Hopf, zéro-multiplicité des suites récurrentes linéaires, presque-orthogonalité, séries de Fourier et inégalités maximales
Keywords: Riesz-Raikov Theorem, Hopf maximal ergodic theorem, zero multiplicity of linear recurrence sequences, almost orthogonality, Fourier series and maximal inequalities

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