Nous considérons la famille de polynômes de de la forme Deux polynômes et sont dits équivalents s’il existe un automorphisme de tel que Nous donnons une classification complète des classes d’équivalence de ces polynômes dans les catégories algébrique et analytique. Nous en déduisons les résultats suivants. Il existe des exemples explicites de polynômes non équivalents et tels que l’ensemble des zéros de est isomorphe à l’ensemble des zéros de pour tout . Il existe des polynômes analytiquement équivalents qui ne le sont pas algébriquement. Il existe des polynômes algébriquement non équivalents mais qui, vus comme des polynômes de , le deviennent. Ce dernier résultat répond à un problème posé dans [7]. Finalement, nous obtenons une classification complète des actions de sur définies par une dérivation triangulaire de la forme
We consider the family of polynomials in of the form . Two such polynomials and are equivalent if there is an automorphism of such that . We give a complete classification of the equivalence classes of these polynomials in the algebraic and analytic category. As a consequence, we find the following results. There are explicit examples of inequivalent polynomials and such that the zero set of is isomorphic to the zero set of for all . There exist polynomials which are algebraically inequivalent but analytically equivalent. There exist polynomials which are algebraically inequivalent but when considered as polynomials in become equivalent. This last result answers a problem posed in [7]. Finally, we get a complete classification of -actions on which are defined by a triangular locally nilpotent derivation of the form .
Keywords: equivalence of polynomials, stable equivalence, algebraic embeddings, Danielewski surfaces.
Mot clés : polynômes équivalents, équivalence stable, plongements algébriques, surfaces de Danielewski.
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Moser-Jauslin, Lucy; Poloni, Pierre-Marie. Embeddings of a family of Danielewski hypersurfaces and certain $\mathbf{C}^+$-actions on $\mathbf{C}^3$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 56 (2006) no. 5, pp. 1567-1581. doi : 10.5802/aif.2220. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2220/
[1] On the cancellation problem and automorphism groups of affine algebraic varieties (1989) (preprint, Warsaw)
[2] Sur une classe de schémas avec actions de fibrés en droites, Institut Fourier, Grenoble (2004) (Ph. D. Thesis)
[3] Danielewski-Fieseler surfaces, Transformation Groups, Volume 10 (Juin 2005) no. 2, pp. 139-162 | DOI | MR | Zbl
[4] On complex affine surfaces with -action, Comment. Math. Helvetici, Volume 69 (1994), pp. 5-27 | DOI | MR | Zbl
[5] Embeddings of Danielewski surfaces, Math. Z., Volume 245 (2003) no. 4, pp. 823-834 | DOI | MR | Zbl
[6] On the group of automorphisms of a surface , Israel J. Math., Volume 121 (2001), pp. 113-123 | DOI | MR | Zbl
[7] The stable equivalence and cancellation problems, Comment. Math. Helv., Volume 79 (2004), pp. 341-349 | DOI | MR | Zbl
[8] Embeddings of hypersurfaces in affine spaces, J. Alg., Volume 239 (2001), pp. 161-173 | DOI | MR | Zbl
[9] Affine varieties with equivalent cylinders, J. Alg., Volume 251 (2002), pp. 295-307 | DOI | MR | Zbl
Cité par Sources :