Orthogonal bundles on curves and theta functions

Beauville, Arnaud

Annales de l'Institut Fourier, Tome 56 (2006) no. 5, pp. 1405-1418.

Soient $ℳ$ l’espace des modules des fibrés ${\mathrm{SO}}_r$-principaux sur une courbe $C$, et $ℒ$ le fibré déterminant sur $ℳ$. Nous définissons un isomorphisme de $H^0(ℳ,ℒ)$ sur le dual de l’espace des fonctions thêta du $r$-ième ordre sur la Jacobienne de $C$. Cet isomorphisme identifie l’application rationnelle ${ℳ⇢\left|ℒ\right|}^{*}$ définie par le système linéaire $\left|ℒ\right|$ avec l’application $ℳ⇢\left|r\Theta \right|$ qui associe à un fibré quadratique $(E,q)$ le diviseur thêta ${\Theta }_E$. Les deux composantes ${ℳ}^{+}$ et ${ℳ}^{-}$ de $ℳ$ sont envoyées sur les sous-espaces de fonctions paires et impaires respectivement. Finalement nous discutons le problème analogue pour les fibrés symplectiques.

Let $ℳ$ be the moduli space of principal ${\mathrm{SO}}_r$-bundles on a curve $C$, and $ℒ$ the determinant bundle on $ℳ$. We define an isomorphism of $H^0(ℳ,ℒ)$ onto the dual of the space of $r$-th order theta functions on the Jacobian of $C$. This isomorphism identifies the rational map ${ℳ⇢\left|ℒ\right|}^{*}$ defined by the linear system $\left|ℒ\right|$ with the map $ℳ⇢\left|r\Theta \right|$ which associates to a quadratic bundle $(E,q)$ the theta divisor ${\Theta }_E$. The two components ${ℳ}^{+}$ and ${ℳ}^{-}$ of $ℳ$ are mapped into the subspaces of even and odd theta functions respectively. Finally we discuss the analogous question for ${\mathrm{Sp}}_{2r}$-bundles.

Classification : 14H60
Keywords: Principal bundles, orthogonal bundles, symplectic bundles, theta divisors, generalized theta functions, Verlinde formula, strange duality
Mot clés : fibrés principaux, fibrés orthogonaux, fibrés symplectiques, diviseurs thêta, fonctions thêta généralisées, formule de Verlinde, dualité étrange

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