Quaternionic contact structures in dimension $7$

Duchemin, David

Annales de l'Institut Fourier, Tome 56 (2006) no. 4, pp. 851-885.

L’infini conforme d’une métrique quaternion-kählérienne complète sur une variété de dimension $4n$ est une distribution de contact quaternionienne de codimension $3$. En dimension $4n-1>7$, une telle structure de contact quaternionienne est toujours l’infini conforme d’une métrique quaternion-kählérienne. Cependant, nous décrivons dans cet article une condition nécessaire et suffisante pour qu’une telle distribution sur une variété de dimension $7$ soit l’infini conforme d’une métrique quaternion-kälérienne. Ceci nous permet de trouver les structures de contact quaternioniennes sur la sphère de dimension $7$, proches de la structure standard et qui sont les infinis conformes de métriques quaternion-kählériennes complètes sur la boule de dimension $8$. Nous construisons ensuite une famille à 25 paramètres de métriques quaternion-kählériennes Sp$\left(1\right)$-invariantes et complètes sur la boule de dimension $8$.

The conformal infinity of a quaternionic-Kähler metric on a $4n$-manifold with boundary is a codimension $3$ distribution on the boundary called quaternionic contact. In dimensions $4n-1$ greater than $7$, a quaternionic contact structure is always the conformal infinity of a quaternionic-Kähler metric. On the contrary, in dimension $7$, we prove a criterion for quaternionic contact structures to be the conformal infinity of a quaternionic-Kähler metric. This allows us to find the quaternionic-contact structures on the $7$-sphere close to the conformal infinity of the quaternionic hyperbolic metric and which are the boundaries of complete quaternionic-Kähler metrics on the $8$-ball. Finally, we construct a $25$-parameter family of Sp$\left(1\right)$-invariant complete quaternionic-Kähler metrics on the $8$-ball together with the $25$-parameter family of their boundaries.

Classification : 53C25, 53C26, 53C28, 53D10, 58A10, 58J10
Keywords: contact structures, quaternionic-kähler metrics, twistor spaces
Mot clés : géométrie différentielle, structures de contact, géométrie quaternion-kählérienne, twisteurs, complexes elliptiques

[1] Besse, A. L. Einstein manifolds, Springer-Verlag, Berlin, 1987 | MR | Zbl

[2] Biquard, O. Métriques d’Einstein asymptotiquement symétriques, Astérisque, Volume 265, Société Mathématique de France, 2000 | Numdam | MR | Zbl

[3] Biquard, O. Métriques autoduales sur la boule, Invent. Math., Volume 148 (2002), pp. 545-607 | DOI | MR | Zbl

[4] Galicki, K. Multi-centre metrics with negative cosmological constant, Class. Quantum Grav., Volume 8 (1991), pp. 1529-1543 | DOI | MR | Zbl

[5] Graham, C. Robin; Lee, John M. Einstein metrics with prescribed conformal infinity on the ball, Advances in Math., Volume 87 (1991), pp. 186-225 | DOI | MR | Zbl

[6] Konishi, M. On manifolds with Sasakian 3-structures over quaternion-Kählerian manifolds, Kodai Math. Sem. Reps., Volume 26 (1975), pp. 194-200 | DOI | MR | Zbl

[7] LeBrun, C. $\mathscr{H}$-Space with a cosmological constant, Proc. R. Soc. Lond. A, Volume 380 (1982), pp. 171-185 | DOI | MR | Zbl

[8] LeBrun, C. Quaternionic-Kähler manifolds and conformal geometry, Math. Ann., Volume 284 (1989), pp. 353-376 | DOI | MR | Zbl

[9] LeBrun, C. On complete quaternionic-Kähler manifolds, Duke Math. J., Volume 63 (1991), pp. 723-743 | DOI | MR | Zbl

[10] Montgomery, R. A tour of subriemannian geometries, their geodesics and applications, 91, Math. Surv. Mon. (AMS), 2002 | MR | Zbl

[11] Salamon, S. Quaternionic Kähler manifolds, Invent. Math., Volume 67 (1982), pp. 143-171 | DOI | MR | Zbl

[12] Salamon, S. Almost parallel structures, Global differential geometry: the mathematical legacy of Alfred Gray, Bilbao (2000), pp. 162-181 | MR | Zbl

[13] Swann, A. Aspects symplectiques de la géométrie quaternionique, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 308 (1989), pp. 225-228 | MR | Zbl