no. 2
Propagation et réflexion des singularités pour l'équation de Schrödinger non linéaire
Szeftel, Jérémie1
1 Université Paris 13, LAGA UMR 7539, Institut Galilée, 99 avenue J.B. Clément, 93430 Villetaneuse (France)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 55 (2005) no. 2, pp. 573-671.

Nous construisons un calcul paradifférentiel adapté à l'équation de Schrödinger qui nous permet de montrer un théorème de propagation des singularités pour l'équation de Schrödinger non linéaire en adaptant la méthode de Bony. Nous construisons également la version tangentielle du calcul précédent qui nous permet de montrer un théorème de réflexion transverse des singularités pour l'équation de Schrödinger non linéaire. Nous utilisons alors ce théorème pour calculer l'opérateur de Dirichlet-Neumann associé à l'équation de Schrödinger non linéaire.

We construct a paradifferential calculus well-suited to the Schrödinger equation which allows us to prove a result on propagation of singularities for the nonlinear Schrödinger equation by adapting Bony's method. We also construct the tangential version of the previous paradifferential calculus which allows us to prove a result on reflection of singularities for the nonlinear Schrödinger equation. We then use this result to compute the Dirichlet to Neumann map of the nonlinear Schrödinger equation.

DOI : 10.5802/aif.2108
Classification : 35Q55, 35S50, 35A21
Mot clés : équation de Schrödinger non linéaire, calcul paradifférentiel, propagation et réflexion des singularités, opérateur de Dirichlet-Neumann
Keywords: nonlinear Schrödinger equation, paradifferential calculus, propagation and reflection of singularities, Dirichlet to Neumann map
Szeftel, Jérémie 1

1 Université Paris 13, LAGA UMR 7539, Institut Galilée, 99 avenue J.B. Clément, 93430 Villetaneuse (France) 
@article{AIF_2005__55_2_573_0,
     author = {Szeftel, J\'er\'emie},
     title = {Propagation et r\'eflexion des singularit\'es pour l'\'equation de {Schr\"odinger} non lin\'eaire},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {573--671},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {55},
     number = {2},
     year = {2005},
     doi = {10.5802/aif.2108},
     mrnumber = {2147901},
     zbl = {1088.35066},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2108/}
}
TY  - JOUR
AU  - Szeftel, Jérémie
TI  - Propagation et réflexion des singularités pour l'équation de Schrödinger non linéaire
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2005
SP  - 573
EP  - 671
VL  - 55
IS  - 2
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2108/
DO  - 10.5802/aif.2108
LA  - fr
ID  - AIF_2005__55_2_573_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Szeftel, Jérémie
%T Propagation et réflexion des singularités pour l'équation de Schrödinger non linéaire
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2005
%P 573-671
%V 55
%N 2
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2108/
%R 10.5802/aif.2108
%G fr
%F AIF_2005__55_2_573_0
Szeftel, Jérémie. Propagation et réflexion des singularités pour l'équation de Schrödinger non linéaire. Annales de l'Institut Fourier, Tome 55 (2005) no. 2, pp. 573-671. doi : 10.5802/aif.2108. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2108/

[1] A. Alabidi Réflexion transverse des singularités pour un problème aux limites non linéaire d'ordre 2, C. R. A. S., série I-10, Volume 300 (1985) | MR | Zbl

[2] J.M. Bony Calcul symbolique et propagation des singularités pour les équations aux dérivées partielles non linéaires, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup (4e série), Volume 14 (1981), pp. 209-246 | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[3] L. Boutet de Monvel Propagation des Singularités des Solutions d'Équations Analogues à l'Équation de Schrödinger, Fourier integral operators and partial differential equations (Lecture Notes in Math.), Volume 459 (1975), pp. 1-14 | MR | Zbl

[4] J.Y. Chemin Fluides parfaits incompressibles (Astérisque), Volume 230 (1995) | Numdam | MR | Zbl

[5] H. Chihara Local existence for semi-linear Schrödinger equations, Math. Japonica, Volume 42 (1995), pp. 35-52 | MR | Zbl

[6] J.M. Delort Existence globale et comportement asymptotique pour l'équation de Klein-Gordon quasilinéaire à données petites en dimension 1, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. (4e série), Volume 34 (2001), pp. 1-61 | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[7] L. Hörmander Linear partial differential operators, Springer, Berlin Heidelberg, 1969 | MR

[8] L. Hörmander Lectures on nonlinear hyperbolic differential equations, Springer, Berlin Heidelberg, 1997 | MR | Zbl

[9] C. Kenig; G. Ponce; L. Vega Smoothing effects and local existence theory for the generalized nonlinear Schrödinger equations, Invent. Math., Volume 134 (1998) no. 3, pp. 489-545 | DOI | MR | Zbl

[10] R. Lascar Propagation des singularités des solutions d'équations pseudodifférentielles quasi-homogènes, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 27 (1977), pp. 79-123 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[11] J.L. Lions; E. Magenes Problèmes aux limites non homogènes et applications, Dunod, Paris, 1968 | Zbl

[12] Y. Meyer Remarques sur un théorème de J. M. Bony, Suppl. ai Rend. del Circolo mat. di Palermo (1981), pp. 1-20 | MR | Zbl

[13] M. Sablé-Tougeron Régularité microlocale pour des problèmes aux limites non linéaires, Ann. Inst. Fourier, Volume 36 (1986), pp. 39-82 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[14] J. Szeftel Réflexion des singularités pour l'équation de Schrödinger, Comm. Partial Differential Equations, Volume 29 (2004) no. 5-6, pp. 707-761 | DOI | MR | Zbl

[15] J. Szeftel Design of absorbing boundary conditions for Schrödinger equations in ℝ d , SIAM J. Numer. Anal., Volume 42 (2004) no. 4, pp. 1527-1551 | DOI | MR | Zbl

[16] J. Szeftel Microlocal dispersive smoothing for the nonlinear Schrödinger equation (2003) (Soumis) | Zbl

[17] J. Szeftel Absorbing boundary conditions for nonlinear Schrödinger equations (2004) (Soumis)

Cité par Sources :