Singularité et intégrabilité des fonctions plurisousharmoniques

Blel, Mongi; K. Mimouni, Saoud

Annales de l'Institut Fourier, Tome 55 (2005) no. 2, pp. 319-351.

On étudie les singularités et l’intégrabilité d’une classe de fonctions plurisousharmoniques sur une variété analytique $X$ de dimension $n\ge 1$. Pour étudier ce problème, nous commençons par contrôler les nombres de Lelong de certains types de fonctions plurisousharmoniques $\varphi$. Ensuite, nous étudions les singularités du transformé strict du courant $d{d}^c\varphi$ par un éclatement de $X$ au dessus d’un point. Nous répondons ainsi positivement au problème d’intégrabilité locale de ${\mathrm{e}}^{-\varphi }$, lorsque $\dim X=2$, et lorsque $\varphi$ est une fonction plurisousharmonique telle que $\varphi \in {\mathrm{L}}_{\mathrm{loc}}^{\infty }(X\setminus K)$, avec $K$ compact de $X$ et lorsque $E_c\left(\varphi \right)=\{x\in X;{\nu }_{\varphi }\left(x\right)\ge c\}$ est discret pour tout $c>0$, et ${\nu }_{\varphi }\left(x\right)\le 2$ pour tout $x$ de $X$.

The goal of the present work is to study the singularities of a class of plurisubharmonic functions on complex manifolds $X$ of dimension $n\ge 1$. In order to study this problem one starts by controlling the Lelong numbers of certain of plurisubharmonic functions $\varphi$. Then we study the singularities of the strict transform of the current $d{d}^c\varphi$ by the blow-ups of $X$ at a point. Using this we positively answer the question of the local integrability of ${\mathrm{e}}^{-\varphi }$, when $\dim X=2$ and $\varphi$ is a plurisubharmonic function with $\varphi \in {\mathrm{L}}_{\mathrm{loc}}^{\infty }(X\setminus K)$, and $K$ is a compact of $X$, and the situation where the sublevel sets $E_c\left(\varphi \right)=\{x\in X;{\nu }_{\varphi }\left(x\right)\ge c\}$ is discrete for all $c>0$ and ${\nu }_{\varphi }\left(x\right)\le 2$ for all $x\in X$.

Classification : 32C25, 32C30
Mot clés : fonctions plurisousharmoniques, courants positifs, ensembles analytiques, exposant des singularités
Keywords: plurisubharmonic functions, positive currents, analytic sets, exponants of singularities

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