Ensembles d'unicité pour les automorphismes et les endomorphismes analytiques d'un domaine borné

Vigué, Jean-Pierre

Annales de l'Institut Fourier, Tome 55 (2005) no. 1, pp. 147-159.

Dans cet article, nous étudions les ensembles d’unicité pour le groupe $\mathrm{Aut}\left(D\right)$ des automorphismes analytiques d’un domaine borné $D$ de ${ℂ}^n$ (resp. pour l’ensemble $H(D,D)$ des fonctions holomorphes de $D$ dans lui-même). Dans les deux cas, nous montrons qu’il existe des ensembles d’unicité contenus dans $D^{n+1}$ ; pour $\mathrm{Aut}\left(D\right)$, nous montrons que ces ensembles d’unicité forment un ensemble dense de $D^{n+1}$, et pour $H(D,D)$, que ce n’est pas le cas en général.

In this paper, we study determination sets for the group $\mathrm{Aut}\left(D\right)$ of biholomorphic automorphisms of $D$ (resp. for the set $H(D,D)$ of holomorphic maps of $D$ into itself). In the two cases, we prove the existence of determination sets contained in $D^{n+1}$ ; in the first case, we prove that these determination sets form a dense subset in $D^{n+1}$, and, for $H(D,D)$, it is not the case in general.

Classification : 32H02
Mot clés : ensembles d'unicité, automorphismes et endomorphismes analytiques, théorème d'unicité de H. Cartan.
Keywords: Determination sets, analytic automorphisms and endomorphisms, H. Cartan's unicity theorem

[1] M. Abate Iteration theory, compactly divergent sequences and commuting holomorphic maps, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci., Volume 18 (1991) no. 4, pp. 167-191 | Numdam | MR | Zbl

[2] E. Bedford On the automorphism group of a Stein manifold, Math. Ann., Volume 266 (1983), pp. 215-227 | DOI | MR | Zbl

[3] H. Cartan Les fonctions de deux variables complexes et le problème de la représentation analytique, J. Math. pures et appl., Volume 11 (1931) no. 9, pp. 1-114 | JFM

[4] H. Cartan Sur les fonctions de plusieurs variables complexes. L'itération des transformations intérieures d'un domaine borné, Math. Z., Volume 35 (1932), pp. 760-773 | DOI | JFM | MR | Zbl

[5] H. Cartan Sur les rétractions d'une variété, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I Math., Volume 303 (1986), pp. 715 | MR | Zbl

[6] T. Franzoni; E. Vesentini Holomorphic maps and invariant distances, Notas de Matematica [Mathematical Notes], 69, Amsterdam, 1980 | MR | Zbl

[7] B. Fridman; K. Kim; S. Krantz; D. Ma On fixed points and determining sets for holomorphic automorphisms, Michigan Math. J., Volume 50 (2002), pp. 507-515 | DOI | MR | Zbl

[8] L. Harris Schwarz-Pick systems of pseudometrics for domains in normed linear spaces (Proc. Sem. Univ. Fed. Rio de Janeiro), Volume 34 (1977), pp. 345-406 | Zbl

[9] M. Jarnicki; P. Pflug Invariant distances and metrics in complex analysis. (de Gruyter Expositions in Mathematics), Volume 9 (1993) | Zbl

[10] R. Narasimhan Several complex variables, III, The University of Chicago Press, Chicago, 1971 | Zbl

[11] E. Peschl; M. Lehtinen A conformal self-map which fixes 3 points is the identity (Ann. Acad. Sci. Fenn sér. A I Math.), Volume 4 (1979), pp. 85-86 | Zbl

[12] E. Vesentini Complex geodesics, Compositio Math., Volume 44 (1981), pp. 375-394 | Numdam | MR | Zbl

[13] E. Vesentini Complex geodesics and holomorphic maps, Symposia Mathematica, Volume XXVI (1980), pp. 211-230 | MR | Zbl

[14] J.-P. Vigué Le groupe des automorphismes analytiques d'un domaine borné d'un espace de Banach complexe. Application aux domaines bornes symétriques, Ann. Sci. École Norm. Sup., Volume 9 (1976) no. 4, pp. 203-281 | Numdam | MR | Zbl

[15] J.-P. Vigué Points fixes d'applications holomorphes dans un domaine borné convexe de ${ℂ}^n$, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 289 (1985), pp. 345-353 | MR | Zbl

[16] J.-P. Vigué Sur les points fixes d'applications holomorphes, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I Math., Volume 303 (1986), pp. 927-930 | MR | Zbl

[17] J.-P. Vigué Sur les ensembles d'unicité pour les automorphismes analytiques d'un domaine borné, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 336 (2003), pp. 589-592 | MR | Zbl