Le problème de Dirichlet pour les équations elliptiques du second ordre à coefficients discontinus

Stampacchia, Guido

Annales de l'Institut Fourier, Tome 15 (1965) no. 1, pp. 189-257.

On considère l’opérateur elliptique

$$Lu=-(a_{ij}{u}_{x_i}+d_{j}u{)}_{x_j}+(b_i{u}_{x_i}+cu)$$

où les coefficients sont des fonctions mesurables appartenant à des espaces $L^{*}\left(\Omega \right)$ convenables dans un ouvert borné $\Omega$ de ${\mathbf{R}}^n$. Le but principal est d’étendre un résultat [par W. Littman, G. Stampacchia et H. Weinberger] sur les points réguliers pour le problème de Dirichlet à des équations plus générales (§10). Le paragraphe 3 contient aussi un principe de maximum pour les solutions faibles. Le paragraphe 4 contient des majorations a priori dans $L^p\left(\Omega \right)$ des solutions.

Les paragraphes 5 et 7 sont consacrés à l’extension du théorème de Giorgi sur la continuité höldérienne des solutions ; l’extension au bord est aussi envisagée. La généralisation d’un théorème de Moser sur l’inégalité de Harnack est considérée dans le paragraphe 8.

Le paragraphe 9 contient l’étude de la fonction de Green.

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