Volume et courbure totale pour les hypersurfaces de l'espace euclidien

Oancea, Alexandru

Annales de l'Institut Fourier, Tome 54 (2004) no. 3, pp. 733-771.

Nous étudions des analogues en dimension supérieure de l’inégalité de Burago $A\left(S\right)\le R^{2}T\left(S\right)$, avec $S$ une surface fermée de classe $C^2$ immergée dans ${ℝ}^3$, $A\left(S\right)$ son aire et $T\left(S\right)$ sa courbure totale. Nous donnons un exemple explicite qui prouve qu’une inégalité analogue de la forme $\mathrm{vol}\left(M\right)\le C_n{R}^{n}T\left(M\right)$, avec $C_n>0$ une constante, ne peut être vraie pour une hypersurface fermée $M$ de classe $C^2$ dans ${ℝ}^{n+1}$, $n\ge 3$. Nous mettons toutefois en évidence une condition suffisante sur la courbure de Ricci sous laquelle l’inégalité est vérifiée en dimension $n=3$. En dimension arbitraire, nous obtenons une inégalité similaire à caractère semi-local qui majore le volume d’un compact $K$ de $M$ par la courbure totale d’un ouvert $U$ qui le contient, sous l’hypothèse que la courbure de Gauss-Kronecker ne s’annule pas sur $U$. Nous présentons différentes autres inégalités impliquant la courbure totale et ayant un caractère isopérimétrique. Au passage, nous obtenons une inégalité isopérimétrique “inverse” valable dans les espaces à courbure constante.

We study higher dimensional analogues of Burago’s inequality $A\left(S\right)\le R^{2}T\left(S\right)$, where $S$ is a closed surface $C^2$ immersed in ${ℝ}^3$, $A\left(S\right)$ is the area and $T\left(S\right)$ is the total curvature. We construct an explicit example showing that an analogous inequality of the form $\mathrm{vol}\left(M\right)\le C_n{R}^{n}T\left(M\right)$, with $C_n>0$ a constant, cannot hold for an arbitrary closed $C^2$ immersed hypersurface $M$ of ${ℝ}^{n+1}$, $n\ge 3$. Nonetheless, we exhibit a sufficient condition on the Ricci curvature of $M$ which ensures the inequality in dimension $n=3$. In arbitrary dimension, we prove a semi- local inequality bounding the volume of a compact set $K\subset M$ by the total curvature of some open set $U$ containing it, under the assumption that the Gauss-Kronecker curvature does not vanish on $U$. We prove various other inequalities having an isoperimetric flavour and show that they are optimal. We also prove a “reverse” isoperimetric inequality holding in constant curvature spaces.

Classification : 52A40, 53A07, 53C21
Mot clés : hypersurfaces, courbure totale, inégalités isopérimétriques
Keywords: hypersurfaces, total curvature, isoperimetrics inequalities

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